¿Qué es? $\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\log(n^2)}}{\sqrt{n^3}}$ ?

Question

Tengo que averiguar si $$2^{\log(n^2)} = \Omega (\sqrt{n^3}).$$

Ahora tengo que averiguar si existe una constante positiva $c$ y un número natural $n_0$ tal que $$2^{\log(n^2)} \ge c \sqrt{n^3},\quad \forall n > n_0.$$ Por eso quiero saber si el límite de esta función existe, porque no he podido encontrarlo. $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\log(n^2)}}{\sqrt{n^3}}.$$

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que $$2^{\log(n^2)}=e^{\log(n^2)\log(2)}=n^{2\log(2)}.$$ Ahora compárelo con $\sqrt{n^3}={n^{3/2}}$ .

Answer 2

Tenemos que

$$\frac{2^{\log(n^2)}}{\sqrt{n^3}}=\frac{4^{\log(n)}}{\sqrt{n^3}}=\frac{n^{\log(4)}}{\sqrt{n^3}}$$

y $\log 4 <\frac 3 2$ .

Answer 3

Toma los logaritmos y compara

$$\log2\log n^2=2\log 2\log n$$

y

$$\log\sqrt{n^3}=\frac32\log n.$$

Ahora,

$$2\log2<\frac32\iff 4\log 2<3\iff 16<e^3$$ porque $16<\left(1+1+\dfrac12+\dfrac1{3!}\right)^3<e^3$ .

Answer 4

Como alternativa por $n^2 =2^x \to \infty$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\log(n^2)}}{\sqrt{n^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2^{\log(2^x)}}{2^{\frac34x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2^{x\log 2}}{2^{\frac34x}}$$

y $\log 2 <\frac 3 4$ .