Derivación de la identidad tangente del ángulo mitad

Question

Estoy teniendo problemas para proceder de $$\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}$$ a $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Contexto:

Considere la función $f$ definida para todos los $(x,y)$ tal que $y \neq 0$, con la regla de $$f(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}$$ Mostrar que $$f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Hasta ahora he hecho: $$f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) = \frac{r\sin(\theta)}{\sqrt{r^2\cos^2(\theta) + r^2\sin^2(\theta)}+r\cos(\theta)} = \frac{r\sin(\theta)}{\sqrt{r^2}+r\cos(\theta)}\\=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}$$

El uso de $$\cos(\theta) = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1 \implies 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=\cos(\theta)+1$$ Llegamos $$f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) = \frac{\sin(\theta)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$ Pero no puedo ver cómo proceder a partir de aquí el resultado requerido. Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia: El numerador puede ser escrito como <span class="math-container">$$ \sin\theta = \sin \left(2 \cdot \frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}. $ $</span>

Answer 2

Es mucho más fácil de usar algunos trig. identidades: <span class="math-container">$\sin (\theta) =2 \sin (\theta /2) \cos (\theta /2)$</span> y <span class="math-container">$1+\cos \theta =2\cos ^{2} (\theta /2)$</span>. Usted recibirá inmediatamente el resultado de estas dos fórmulas.

Answer 3

Es posible entender muchas identidades trigonométricas con el círculo unidad.

Una vez que usted entiende, es también mucho más fácil de recordar.

Puede utilizar dos círculos de unidad (uno para $a$, uno para $b$) para la construcción de un rombo:

Los lados del rombo tiene longitud 1. A partir de este diagrama, se puede ver que:

$$\tan\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)}=\frac{\sin\left(a\right) + \sin\left(b\right)}{\cos\left(a\right)+\cos\left(b\right)}$$

En particular, con $a = 0$ e $b = \theta$, se tiene:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{0 + \sin\left(\theta\right)}{1 + \cos\left(\theta\right)}$$

Answer 4

Deje $L=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$ e $R=\tan(\theta/2)$.

A la izquierda

\begin{align} \frac{\textrm{d}L}{\textrm{d}\theta} &= \frac{\cos\theta(1+\cos\theta)-\sin\theta (-\sin\theta)}{(1+\cos \theta)^2}\\ &=\frac{1}{1+\cos\theta} \end{align} De nuevo \begin{align} \frac{\textrm{d}^2L}{\textrm{d}\theta^2} &= -(1+\cos\theta)^{-2}(-\sin\theta)\\ &=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\frac{1}{1+\cos\theta}\\ &=L\frac{\textrm{d}L}{\textrm{d}\theta} \end{align}

Derecho

\begin{align} \frac{\textrm{d}R}{\textrm{d}\theta} &= \frac{\sec^2(\theta/2)}{2}\\ &= \frac{1+\tan^2(\theta/2)}{2}\\ 2\frac{\textrm{d}R}{\textrm{d}\theta} &= 1+R^2 \end{align}

De nuevo

\begin{align} 2\frac{\textrm{d}^2R}{\textrm{d}\theta^2} &= 2R\frac{\textrm{d}R}{\textrm{d}\theta}\\ \frac{\textrm{d}^2R}{\textrm{d}\theta^2} &= R\frac{\textrm{d}R}{\textrm{d}\theta} \end{align}

Conclusión

\begin{align} L&=R\\ \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}&=\tan(\theta/2) \end{align}

Editar

Suponga que el interrogador y su amigo se pidió a resolver una ecuación diferencial $y''=yy'$ con $y(0)=0$ e $y'(0)=1/2$.

Haciendo la historia corta, a él y a su amigo a encontrar la solución, $y=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ e $y=\tan(\theta/2)$, respectivamente.

Ahora puede proceder de $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ a $\tan(\theta/2)$ sin lugar a dudas.