$p$ y$6p+1$ en ambos palíndromos - números primos. ¿Es$(131/787)$ el único ejemplo?

Question

$131$ es un palíndromo primer así como a $787$ además $6\cdot 131+1=787$.

Hay más ejemplos para un palíndromo-prime $p$, de tal manera que $6p+1$ es un palíndromo-prime ?

Está claro que $p$ debe tener un número impar od dígitos (desde $11$ es la única palindrom-prime con un número par de dígitos) y el primer dígito de $p$ debe $1$ , de lo contrario $6p+1$ tiene un número par de dígitos.

Así, $p$ debe tener el formulario de $1\cdots 1$ e $6p+1$ debe tener el formulario de $7\cdots 7$. Hasta $10^{10}$ , no hay ejemplo más salidas.

Answer 1

Esto es sólo un comentario largo, pero podría ser de ayuda para cualquier persona que quiera ir más allá.

Tiene sentido comenzar buscando palíndromos $p$, primos o no, pero con un número impar de dígitos (de modo que podría ser un primo), de tal manera que $6p+1$ también es un palíndromo con un número impar de dígitos (de modo que también podría ser un primo). Vamos a dejar que $p=a_0a_1\ldots a_{n-1}a_na_{n-1}\ldots a_1a_0$ con los dígitos $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\{0,1,2,\ldots,9\}$ e $6p+1=b_0b_1\ldots b_{n-1}b_nb_{n-1}\ldots b_1b_0$ con los dígitos $b_0,b_1,\ldots,b_n\in\{0,1,2,\ldots,9\}$.

Como el OP notas, para $6p+1$ a que tienen un número impar de dígitos, se debe tener $a_0=1$, en cuyo caso $b_0=7$. Pero eso requiere un acarreo de exactamente $1$ a partir de la multiplicación $6a_1$, lo que significa que $a_1\in\{2,3\}$. En particular, obtenemos los tres pares de dígitos

$$(121,727)\quad\text{and}\quad(131,787)$$

En general, para que los lleva a trabajar para producir un palíndromo, debemos tener $a_i\in\{0,1\}$ si $i$ es incluso y $a_i\in\{2,3\}$ si $i$ es impar; por otra parte, cada elección produce un capicúa par $(p,6p+1)$. Así, por ejemplo, los cinco pares de dígitos son

$$(12021,72127),\quad(12121,72727),\quad(13031,78187),\quad(13131,78787)$$

Entre estos números, sólo $72727$ e $78787$ son principales; el $p$ valores son todos los compuestos. (En particular, $12021$ e $13131$ son fácilmente identificados como múltiplos de $3$.)

El hecho de que sólo hay $2^n$ candidatos para un capicúa par de $2n+1$dígitos de los números primos debería agilizar la búsqueda de los más grandes ejemplos considerablemente. El $11$-par de dígitos $(12130303121, 72781818727)$ reportado por Enzo Creti, por ejemplo, es una de las $32$ posible $11$-pares de dígitos, muchos de los cuales pueden ser ignorados como obvio múltiplos de $3$. Mi conjetura sería que el primer pares aparecerá periódicamente; tal vez alguien puede proporcionar una heurística estimación de su frecuencia (o un argumento a contrario, que, finalmente, debe cesar).