Prueba $\sum\frac{\sin{(n)}\tan{(n)}}{n^3}$ diverge/convierte

Question

El problema original es $$\sum \frac{\sin(n)\tan(n)\ln(e-\frac{1}{n})}{n^3}$$ Sé que $\sum\frac{1}{n^3}$ converge absolutamente, también $\sin(n)\leq 1$ y $\ln(e-1)<\ln(e-1/n)<\ln(e)=1$ Ahora bien, ¿cómo determinar si $$\sum \frac{\tan(n)}{n^3}$$ ¿converge? (Si esto convergiera, aseguraría que el original converge, porque es un límite superior y por prueba de comparación, hemos terminado). En caso contrario, si $\sum \tan(n)/n^3$ divergentes, queremos mostrar sobre la serie $$\sum\frac{\sin(n)\tan(n)}{n^3}$$ si converge/diverge.

Parece obvio que $\tan(n)$ no tiene límite (además, ¿cómo demostrarlo formalmente?), pero ¿qué pasa con el $n^3$ no lo envía en realidad a $0$ ?

Tendría un argumento que no tengo muy claro,... $\tan(n)$ es sólo " $\pm\infty$ " en cada $(k+\frac{1}{2})\pi$ pero nunca podremos llegar a esos puntos, porque $n$ es de $\mathbb{N}$ ?

Answer 1

De los comentarios de @JackD'Aurizio se desprende que la convergencia de esta serie forma parte de un problema abierto de medida de irracionalidad de $\pi$ .

Así que, teniendo en cuenta que no es probable que se responda a esta pregunta, me limitaré a ofrecer algunos resultados numéricos ilustrativos:

$$S_1=\sum_{n=1}^N \frac{\tan(n)}{n^3} \\ S_2=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(n) \tan(n)}{n^3}$$

Los mismos valores constantes se conservan al menos hasta $N=10^5$ aunque no lo he comprobado más.

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También es útil comprobarlo:

$$S_1=\sum_{n=1}^N \frac{\tan(n)}{n^2} \\ S_2=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(n) \tan(n)}{n^2}$$

y:

$$S_1=\sum_{n=1}^N \frac{\tan(n)}{n} \\ S_2=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(n) \tan(n)}{n}$$

Vemos algunos problemas de convergencia para $1/n$ como era de esperar.

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De nuevo, esto es sólo una ilustración, definitivamente no es una respuesta.