La más simple y la respuesta histórica es que hemos observado que ciertas cosas en el mundo se puede contar, en el sentido de que los podemos poner en una línea y etiqueta cada uno con su posición en la línea, y que estas posiciones satisfacer ciertos hechos empíricos, y por lo tanto hemos inventado los axiomas para la captura de estos hechos. Yo específicamente los axiomas en que se enlaza la sección (discrete ordenó semi-anillo de los axiomas más de inducción), en vez de otros más comúnmente conocido axiomatization de PA, por dos razones.
En primer lugar, el anillo de los axiomas se han observado o han demostrado funcionar para una gran variedad de estructuras, por lo que no es de extrañar que las personas inventan ellos, y que incluyen la distributividad de la multiplicación sobre la adición.
En segundo lugar, que se concreta axiomatization vinculados a la captura con precisión nuestro conocimiento empírico de los números de contar. Por ejemplo, desde nuestra comprensión espacial de las mociones (traslaciones y rotaciones) podemos fácilmente comprender que la suma es conmutativa: $a+b$ es el recuento total de $a$ objetos seguido por $b$ objetos en una línea, que es el mismo que $b+a$ mirando la línea desde el otro lado. De igual manera para la conmutatividad de la multiplicación: $a·b$ es el recuento total de una matriz rectangular de $a$ veces $b$ objetos, que es igual a $b·a$ por la rotación de la matriz por $90$ grados. Y la distributividad ($a·(b+c) = a·b+a·c$) es claro por la división de la matriz. La asociatividad es también intuitiva.
Tenga en cuenta que los axiomas son suficientes para que podamos recuperar general de la distributividad de la forma que esté usando: Observar que $(a+b)·c = c·(a+b) = c·a+c·b = a·c+b·c$ por conmutatividad y distributividad. Por lo tanto $(a+b)·(c+d) = (a+b)·c + (a+b)·d = (a·c+b·c) + (a·d+b·d)$, y el orden de adición en la última expresión no importa por la asociatividad.
Hay una forma más complicada de responder, que también va de una manera significativa a la explicación de por qué contar los números son los que son. Si usted tiene un operador $f$ en algunos de la colección de $S$ que puede ser iterado (es decir, $f : S \to S$), entonces se puede definir $f^0 = \text{id}_S$ e $f^1 = f$, y definir $f^{m+n} = f^m \circ f^n$ e $f^{m·n} = (f^m)^n$ para todos los números de contar $m,n$. La última definición es válida porque (por inducción) $f^m$ es un operador en $S$ que puede repetirse. Luego (una vez más por inducción), en realidad se puede demostrar las propiedades básicas de $+,·$. Por ejemplo:
La asociatividad de $+$
Tomar cualquier naturals $k,m,n$. A continuación, $f^{k+(m+n)} = f^k \circ ( f^m \circ f^n ) = ( f^k \circ f^m ) \circ f^n = f^{(k+m)+n}$. Aquí estamos usando el hecho de que la función de la composición es asociativa, que es una de las principales razón para casi cada instancia de asociatividad en las matemáticas.
Conmutatividad de la $+$
En primer lugar mostramos que $f^{m+1} = f^{1+m}$ para cada natural $m$. $f^{0+1} = f^0 \circ f = f = f$ $\circ f^0 = f^{1+0}$ , por definición. Para cualquier natural $n$ tal que $f^{n+1} = f^{1+n}$, también tenemos $f^{(n+1)+1} = f^{n+1} \circ f = f^{1+n} \circ f$ $= f^{(1+n)+1} = f^{1+(n+1)}$. Por lo tanto, por la inducción que se hacen.
Ahora tome cualquiera de los $m$. A continuación, $f^{m+0} = f^m \circ f^0 = f^m$ $= f^0 \circ f^m = f^{0+m}$. Y para cualquier natural $n$ tal que $f^{m+n} = f^{n+m}$, también tenemos $f^{m+(n+1)} = f^{(m+n)+1} = f^{m+n} \circ f = f^{n+m} \circ f$ $= f^{(n+m)+1} = f^{n+(m+1)}$ $= f^n \circ f^{m+1} = f^n \circ f^{1+m}$ $= f^{n+(1+m)} = f^{(n+1)+m}$. Por lo tanto, por la inducción que se hacen.
Como se puede ver a partir de las anteriores pruebas, la inducción es suficiente para nosotros para arrancar desde muy rudimentarias nociones de iteración para obtener la suma y sus propiedades. Podemos hacer lo mismo para la multiplicación. Pero debe quedar claro que esta no era la forma en que los axiomas eran originalmente inventado.
