Es un topológico $n-1$ esfera en $\mathbb{R}^n$ siempre es el límite de un límite topológico $n$ ¿bola/disco?

Question

En el plano ( $n=2$ ) la afirmación es verdadera, es el teorema de Jordan-Schoenflies. El contenido completo del teorema es falso ya para $n=3$ debido a la esfera de cuernos de Alexander. Sin embargo, la parte que contradice es que la componente exterior no es simplemente conectada, pero la componente interior sigue siendo una bola topológica.

El llamado "truco de Alexander" es tentador, pero para empezar supone que la esfera es el límite de la bola unitaria... El intento de adaptar la prueba de forma ingenua falla para los casos no convexos.

Así que - mi pregunta es la siguiente: Dejemos que $M$ ser un $n-1$ sub-manifiesto dimensional de $\mathbb{R}^n$ que es homeomorfo a $S^{n-1}$ . Por el teorema de separación de Jordan-Brouwer, $M$ separa $\mathbb{R}^n$ a dos componentes conectados. ¿Es la componente interior (acotada) una componente topológica $n$ -disco, es decir, homeomorfo a $D^n$ con $M$ como su límite?

(Si ayuda - se puede suponer la suavidad)

Answer 1

En el caso de que se trate de un caso de mansedumbre, se desea que el teorema de Schönflies generalizado de Brown y Masur.