$G'$ es el subgrupo normal más pequeño de$G=\langle K\rangle$ que contiene$[K,K]$.

Question

Estoy un poco atascado con este problema. Parece una afirmación sensata pero no puedo probarlo. Lo que tengo que probar es que si$G$ es generado por un conjunto de generación$K$, entonces$G' = [G,G]$ es el subgrupo normal más pequeño de$G$ que contiene$[K,K]$. Puedo ver que el subgrupo normal más pequeño de$G$ que contiene$K$ es$\langle K \rangle$, es decir,$G$ en sí mismo. Sin embargo, no estoy seguro de que esto implique directamente el resultado que estoy buscando.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Deje$N \unlhd G$ con$[K,K] \le N$. Luego, las imágenes de cualquier par de elementos de$K$ en$G/N$ se conmutan entre sí. Pero$G/N$ es generado por estas imágenes, por lo que$G/N$ debe ser abelian, y por lo tanto$G' \le N$.