Ortogonal de matrices con pequeñas entradas

Question

Es cierto que para cualquier $n$, existe un $n \times n$ real ortogonal de la matriz con todos los coeficientes limitada (en valor absoluto) por $C/\sqrt{n}$, $C$ siendo un absoluto constante ?

Algunas observaciones :

• Si queremos $C=1$, la matriz debe ser una matriz de Hadamard.
• El complejo analógica tiene una respuesta fácil: la transformada de Fourier de la matriz $(\exp(2\pi \imath jk/n)/\sqrt{n})_{(j,k)}$. Olvidar la compleja estructura da una respuesta positiva a la pregunta en el caso real al $n$ es incluso.
• Una matriz aleatoria no funciona (la entrada más grande es típicamente del orden de $\sqrt{\log(n)}/\sqrt{n}$).

Answer 1

Tome $A$ $n\times n$ matriz con $A_{jk}=\sqrt{\frac{2}{n+1}}\sin(\frac{jk\pi}{n+1})$. Esta es una variante de la respuesta de jj-joerg-arndt.

Answer 2

He aquí una idea que creo que puede ser ampliable a una solución de una vez algunos detalles que son llenadas. (Estoy un poco cansado en el momento, aunque, así que disculpas si hay un cretinous error en lo que sigue.)

Vamos a hacer el caso de $n=4m-1$ donde $m$ es un número entero; en el caso de $n=4m-3$ es similar.

Deje $C$ $2m\times 2m$ matriz, la cual tiene la forma requerida. Deje $A$ $n\times n$ matriz con $C$ en la esquina superior izquierda, $1$ en el resto de $2m-1$ las entradas de la diagonal, y cero en otro lugar. Deje $B$ $n\times n$ matriz con $C$ en la esquina inferior derecha, $1$ sobre el resto de las $2m-1$ las entradas de la diagonal, y cero en otro lugar.

$A=\left[\begin{matrix} C & 0 \\\\ 0 & I_{2m-1} \end{matrix} \right]\quad,\quad B= \left[\begin{matrix} I_{2m-1} & 0 \\\\ 0 & C \end{matrix} \right]$

Tanto en $A$ $B$ real ortogonal desde $C$ es. Considere la matriz $AB$, siendo el producto de real ortogonal de matrices también serán ortogonales. Yo reclamo de que las entradas de todos los ser $O(\sqrt{n})$ como se requiere.

En más detalle:

- Si tanto $i$$j$$\leq 2m-1$, $(AB)\_{ij}=A\_{ij}=C\_{ij}$ que es pequeña, por nuestra elección de $C$; por simetría, podemos disponer de el caso de que ambos $i$ $j$ $\geq 2m+1$ en una manera similar.

-- Si $i\leq 2m-1$$j\geq 2m+1$, luego en el examen de las $\sum\_r A\_{ir}B\_{rj}$ vemos que el único distinto de cero aporte viene al$r\leq 2m$$r\geq 2m$, es decir, cuando se $r=2m$ $(AB)\_{ij}=A\_{i,2m}B\_{2m,j}$ es pequeña.

-- Si $i=2m$ o $j=2m$, a continuación, un análisis similar se muestra que el $(AB)\_{ij}$ no puede ser más grande que las entradas de $C$ (al menos hasta una cierta constante independiente de $m$).

-- Si $i\geq 2m+1$$j\leq 2m-1$$(AB)\_{ij}=0$.

Que debe manejar el caso de $n=4m-1$. El caso de $n=4m-3$ puede ser hecho de una manera similar, pero esta vez vamos a tener más factores de $3$ flotando ya tenemos $3\times n$ $n\times 3$ regiones a considerar, en lugar de $1\times n$ $n\times 1$ regiones.

Answer 3

Para todos los n puede tomar la matriz correspondiente a la longitud-n Hartley transformar que debe dar C=sqrt(2).