Métodos para demostrar $\frac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo número natural $n$

Question

Prueba $\frac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo número natural $n$ .

Estaba pensando en adoptar un enfoque basado en la teoría de los números.

¿Puede sugerir el siguiente método?

¿Métodos basados en el cálculo/teoría numérica? Por favor, eche un vistazo a mi intento aquí.

Supongamos que $\frac{21n + 4}{14n + 3}$ es reducible por lo que podemos aplicar la aritmética modular, considerando el numerador y el denominador por separado. Ideas aquí,

$21n + 4 \equiv 4 (\mod 7)$ $14n + 3 \equiv 3 (\mod 7)$

$35n + 7 \equiv 7 (\mod 7)$

Tomando el LHS por separado, $35n + 7 (\mod 7) \equiv DNE$ no hay residuo ya que no hay resto.

Por lo tanto, por contradicción, ¿es cierto?

Gracias.

Answer 1

Gcd(21n+4, 14n+3) = gcd(14n+3, 7n+1) = gcd(7n+2, 7n+1) = gcd(7n+1, 1) = 1

Mediante el uso repetido del algoritmo euclidiano.

Answer 2

Queremos demostrar que $21n+4$ y $14n+3$ son relativamente primos. Nótese que $$(3)(14n+3)-(2)(21n+4)=1.$$ Así que cualquier divisor común de $21n+4$ y $14n+3$ divide $1$ .

Observación: No soy capaz de construir un argumento basado en el post. El resto cuando $(21n+4)+(14n+3)$ se divide por $7$ es $0$ No utilizaría el DNE, ya que $0$ es un resto perfectamente respetable. Pero trabajando en módulo $7$ no es suficiente, queremos descartar todo divisores comunes mayores que $1$ .

Answer 3

Una simple prueba de una línea: $$\gcd(21n+4,14n+3)=\gcd(7n+1,14n+3)=\gcd(7n+1,7n+2)=1.$$