Que $A,B$ $k$-álgebras y $A \otimes_k B$ su producto del tensor (en $k$). Quiero mostrar que $(a \otimes b)(a' \otimes b')=(aa' \otimes bb')$ distributiva (ya que necesito mostrar que $A \otimes_k B$ es un anillo con esta multiplicación). Así que el objetivo es conseguir $(a \otimes b)((a' \otimes b')+(a'' \otimes b''))=((a \otimes b)(a' \otimes b'))+((a \otimes b)(a'' \otimes b''))$. Ahora $(a \otimes b)(a' \otimes b')+(a \otimes b)(a'' \otimes b'')=$ después jugueteaban alrededor de $(a \otimes b)((a+a') \otimes (b+b'))-(a \otimes b)(a' \otimes b'')-(a \otimes b)(a'' \otimes b'')=?$ estoy atrapado, ¿cómo puedo proceder?
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Hurkyl
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¿Cómo se define el producto?
Sólo ha especificado el valor del producto puro de los tensores, pero por lo general, "la mayoría" de los elementos de $A \otimes_k B$ no puede ser escrita en la forma $a \otimes b$. También, usted no ha comprobado que la definición que dan está bien definido.
Generalmente, los productos como los que se definen de esta manera como "el distributiva operación que tiene este valor en la pura tensores", por lo que su definición es algo rogando a la pregunta de si usted no sabe que esto existe.
Mi sugerencia es pensar acerca de lo que usted sabe acerca de bilineal funciones en los módulos. En el camino que yo haría, el módulo de $(A \otimes_k B) \otimes_k (A \otimes_k B)$ juega un papel importante, ya que su (supuesta) del producto es equivalente a un homomorphism de este a $A \otimes_k B$.
clacke
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He comprobado la definición, y está bien definido, (el puros tensores). También sé que si $X$ es una base para $A$ $Y$ es una base para $B$, ${x \otimes y: x \in X, y\in Y }$ es una base para el producto del tensor. Esta definición es lo que me dieron y lo he visto en muchos libros de texto. Sin embargo, en todos estos libros de texto, afirman que esta operación es obviamente distributiva.
SnowAngel6147
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Una manera fácil de hacerlo es utilizar la característica universal del producto tensor:
Definir un mapa de $\varphi:A\times B \times A \times B \to A\bigotimes B$ por:
$\varphi(a.b,a',b')=aa'\bigotimes bb'$ es multilineal sobre $k$.
Es fácil comprobar, por ejemplo:
$\begin{align*} \varphi(a,r_1b_1+r_2b_2,a',b') &=aa'\bigotimes \left ( r_1b_1+r_2b_2 \right )b' \\ &=aa'\bigotimes r_1b_1b' +aa'\bigotimes r_2b_2b' \\ &= r_1\varphi(a,b_1,a',b')+r_2\varphi(a,b_2,a',b') \end{align*}$
Por lo $\varphi$ induce una $k-module$ homomorphism $\Phi$$A\bigotimes B\bigotimes A \bigotimes B$$A\bigotimes B$:$\Phi(a\bigotimes b\bigotimes a' \bigotimes b')=aa'\bigotimes bb'$
Siguiente, pensando en $A\bigotimes B\bigotimes A \bigotimes B$$(A\bigotimes B)\bigotimes (A \bigotimes B)$.
Ahora, repita el proceso anterior para alcanzar un bien definidas $k$-bilineal mapa de $\psi$$(A\bigotimes B)\times (A \bigotimes B)$$A\bigotimes B$$\psi(a\bigotimes b,a'\bigotimes b')=aa'\bigotimes bb'$, lo que implica que nuestro multiplicación en realidad, está bien definido.
