En regresión lineal, ¿cómo probar si la duplicación de x conduce a una duplicación de log-transformado y?

Question

En una regresión lineal simple con una variable y transformada logarítmicamente, ¿cómo puedo probar si una duplicación de la variable x conduce a una duplicación de la variable y?

Answer 1

La pregunta es para probar si la pendiente es igual a $1$. Esto puede ser más fácil a cabo mediante una regresión $\log(y) - \log(x)$ contra $\log(x),$, pero también se puede hacer por el post-procesamiento de la regresión resumen (cuando los datos originales pueden no estar disponibles, por ejemplo).

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Análisis

El modelo es

$$\mathbb{E}[\log(y)] = \beta_0 + \beta_1\log(x).$$

Doubling $x$ to $x'$ changes $\log(x)$ to $\log(2x) = \log(2) + \log(x)$. Applying that change to the model yields

$$\mathbb{E}[\log(y')] = \beta_0 + \beta_1(\log(x) + \log(2)) = \mathbb{E}[\log(y)] + \beta_1\log(2).$$

You would like to test whether this is reasonably close to a doubling of $\mathbb{E}[\log(y)]$, which would add $\log(2)$ to it. Comparing, it is evident the question comes down to whether $\log(2) = \beta_1\log(2)$; that is, we need to test whether $\beta_1=1$.

The usual output of a linear regression only tests whether the coefficients are zero, not $1.$ Here is sample output from such a regression:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   1.0817     0.2029   5.331 9.16e-06 ***
x.log         0.4125     0.2636   1.565    0.128   

The second line reports that the estimate of $\beta_1$ is $\hat{\beta}_1 = 0.4125$ with a standard error of $0.2636$, a t value of $1.565 = 0.4135/0.2536,$ and a p-value of $0.128$. The relatively large p-value only tells us not to reject the null hypothesis that $\beta_1=0$: it has no direct bearing on whether $\beta_1=1$.

Solution

There are (at least) two ways to fix that.

1. An easy solution is to regress $\log(y) - \log(x)$ against $\log(x)$. Eso es porque

   $$\mathbb{E}[\log(y)-\log(x)] = \beta_0 + \beta_1\log(x) - \log(x) = \beta_0 + (\beta_1-1)\log(x).$$

   La nueva pendiente es $\beta_1-1,$, por lo que la comparación que a $0$ es equivalente a la comparación de $\beta_1$$1$. Por ejemplo, aquí está la nueva salida:

                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
   (Intercept)   1.0817     0.2029   5.331 9.16e-06 ***
   x.log        -0.5875     0.2636  -2.228   0.0335 * 
   

   De hecho, $\hat{\beta}_1-1$ = $-0.5875 = 0.4125 - 1$ como era de esperar. El error estándar no cambia, pero esta vez el valor de t es $(\hat{\beta}_1 - 1)/se(\hat{\beta}_1) = -2.228.$ El correspondiente valor de p de $0.0335$ sugiere que puede ser evidencia significativa de que $\beta_1-1\ne 0$; es decir, que $\beta_1 \ne 1.$

2. Puede el post-proceso de los resultados originales. Volviendo a la primera salida, se puede calcular directamente a $(\hat{\beta}_1 - 1)/se(\hat{\beta}_1) = (0.4125 - 1)/0.2636 = -2.228.$ Esto se convierte en un p-valor de dos caras área bajo la t de Student de la curva con los grados de libertad apropiados ($30$ en este caso, porque no se $32$ valores de datos de menos de dos parámetros estimados). El p-valor es $0.03350966,$ estaba de acuerdo con el resultado anterior.