¿Puede una relación fundada encontrar elementos mínimos en clases apropiadas?

Question

Mi definición de un fundada relación $R$ (posiblemente adecuada) de la clase $A$ es $$R\mbox{ Fr }A\iff \forall x\subseteq A\,(x\neq\emptyset\rightarrow\exists y\in x\ \forall z\in x\ \neg zRy),$$ o, equivalentemente, $$R\mbox{ Fr }A\iff \forall x\subseteq A\,(x\neq\emptyset\rightarrow\exists y\in x\ x\cap R^{-1}\{y\}=\emptyset).$$

Estoy trabajando en ZF, así que, obviamente, $x$ debe ser un conjunto de lo que me puede cuantificar sobre él. Pero me gustaría concluir a partir de esta definición que

$$X\subseteq A\rightarrow(X\neq\emptyset\rightarrow\exists y\in X\ \forall z\in X\ \neg zRy),$$

donde $X$ es ahora una arbitraria de la clase, que podemos suponer que es una clase adecuada. Desde $X$ no incluido en el cuantificador, no puedo inmediatamente a la conclusión de este teorema, pero mi pregunta es si es posible para mí para obtener esa por otros medios. Si no es verdad, no hay definibles contraejemplos?

Answer 1

$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$Se puede demostrar utilizando la noción de que el rango de un conjunto: $\rank(x)=\min\{\alpha\in\mathbf{ON}:x\in V_{\alpha+1}\}$, donde la jerarquía de von Neumann se define por $V_0=0$, $V_{\alpha+1}=\wp(V_\alpha)$, y $V_\eta=\bigcup_{\xi<\eta}V_\xi$ si $\eta$ es un ordinal límite.

Supongamos que $R$ es fundacional de la relación en $A$, e $\varnothing\ne X\subseteq A$. La idea es mostrar que si $X$ no $R$-mínimo elemento, hay un conjunto $s\subseteq X$ que no tiene $R$-mínimo elemento, contradiciendo la hipótesis de que la $R$ es fundamental. Empezamos por el uso de la función de clasificación para formar un no-vacío es subconjunto de a $X$: vamos a $$X_0=\left\{x\in X:\forall y\in X\big(\rank(x)\le\rank(y)\big)\right\}\;.$$ Note that $X_0\subseteq V_\alpha$ for some $\alpha$, so $X_0$ is a set. Now we want to expand $X_0$ to a set $s$ with the property that if $x\in s$ is not $R$-minimal in $X$, then $x$ is not $R$-minimal in $s$, either. We do this recursively: given a set $X_n$ for $n\in\omega$, we'd like to form $X_{n+1}$ by adding enough elements of $X$ to ensure that if $x\in X_n$ is not $R$-minimal in $X$, there is some $s\en X_{n+1}$ such that $yRx$. At the same time we want to be sure that $X_{n+1}$ es un conjunto, así que usar el mínimo-rango truco de nuevo: vamos a

$$X_{n+1}=X_n\cup\left\{x\in X:\exists y\in X_n\Big(xRy\land\forall z\in X\big(zRy\to\rank(x)\le\rank(z)\big)\Big)\right\}\;;$$

$X_{n+1}$ agrega a $X_n$ el mínimo-rango de representantes de $\{x\in X:\exists y\in X_n(xRy)\}$, y desde $X_{n+1}\subseteq X_n\cup V_\alpha$ para algunos $\alpha$, $X_{n+1}$ es un conjunto.

Por la sustitución del esquema ahora podemos formar el conjunto de $s=\bigcup_{n\in\omega}X_n$. Claramente $0\ne s\subseteq X\subseteq A$. Vamos $x\in s$; $x\in X_n$ para algunos $n\in\omega$. Si $x$ no $R$-mínimo en $X$, vamos a $y\in X$ ser de un mínimo de rango tal que $yRx$; luego, por la construcción de la $y\in X_{n+1}\subseteq s$.

Por último, supongamos que el $X$ no $R$-mínimo elemento. A continuación, hemos demostrado que, para cada una de las $x\in s$ no es un porcentaje ($y\in s$tal que $yRx$, es decir, que $s$ no $R$-mínimo elemento, la contradicción de la hipótesis de que la $R$ es fundamental.