El haz tangente complejo de $\mathbb{C}P^1$ no es isomorfo a su haz conjugado.

Question

En "Clases características", de Milnor y Stasheff, en las páginas 167-168, los autores argumentan brevemente por qué:

El haz tangente complejo de $\mathbb{C}P^1$ no es isomorfo a su haz conjugado.

Sin embargo, no entiendo su argumento. Creo que entiendo que si tuviéramos un isomorfismo entre estos dos haces entonces necesariamente intercambia las orientaciones en las fibras en los haces reales asociados, por lo tanto en cada fibra hay una línea fija que es invariante bajo el isomorfismo. No entiendo la siguiente frase " ...la esfera 2 no admite ningún campo continuo de rectas tangentes." y por qué implica lo que estamos intentando demostrar. Creo que tal vez están tratando de demostrar que esto implica que el haz tangente se divide y por lo tanto la clase de Euler es 0. Pero sabemos que es distinto de cero por lo que tenemos una contradicción. Pero estoy bastante confundido.

Answer 1

Es fácil demostrar que un isomorfismo de estructuras complejas conjugadas en un plano debe ser una reflexión.

Los ejes de reflexión determinan un campo lineal en la esfera.

Si el campo es orientable entonces tendrá una sección no nula y la esfera tendría característica de Euler cero.

Si es no orientable, entonces determinará una primera clase de cohomología Z2, la clase Stiefel-Whitney del haz de líneas. Pero la primera cohomología de la esfera 2 es cero.

Answer 2

Puede que sea un ciego guiando a otro ciego, pero creo que su argumento es correcto.

Los autores también podrían referirse a su argumento en la p. 101, donde dicen que si el haz tangente $TM$ de una variedad lisa está orientada y $e(TM) \neq 0$ entonces $TM$ no puede admitir ningún subfondo impar-dimensional $\xi$ . Esto puede deberse a la propiedad 9.4; tendríamos $2e(\xi) = 0$ y así $2e(TM) = 2e(\xi) \smile e(\xi^\perp)= 0$ a pesar de que $H^{\dim M}(M) \cong \mathbb{Z}$ .

Una cosa relacionada en la que pensar es que, dado un campo de línea continua $\xi$ eligiendo un vector unitario en cada línea se obtendría un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte $v$ en $S^2$ lo que contradiría el teorema de la bola peluda. Habría que demostrar que, dado un haz de líneas continuo, se pueden elegir vectores base de forma continua, pero creo que eso se deduce de la orientabilidad.

Además, girando cada vector $v_p \in T_p S^2$ por $\pi/2$ daría otro campo vectorial evanescente en ninguna parte $w$ y juntos, $v$ y $w$ paralelizaría el haz tangente $TS^2$ lo cual es imposible (por ejemplo, porque la clase de Euler es distinta de cero).