¿Cómo se puede demostrar una identidad errónea?

Question

La siguiente identidad Wronskiana se puede demostrar expandiendo ambos lados y comprobando que los dos lados son iguales. Pero, ¿cómo demostrarla de forma más elegante?

Dejemos que $u_1(x), u_2(x), u_3(x), u_4(x)$ sean cuatro funciones. Definir el Wronskiano del turno q como sigue: $$W(u_1, u_2, u_3)(x)=\det \begin{bmatrix} u_1(x) & u_1(xq^{-2}) & u_1(xq^{-4}) \\ u_2(x) & u_2(xq^{-2}) & u_2(xq^{-4}) \\ u_3(x) & u_3(xq^{-2}) & u_3(xq^{-4}) \end{bmatrix}.$$

Del mismo modo, para $W(u_1, u_2)(x)$ y $W(u_1, u_2, u_3, u_4)(x)$ . Entonces tenemos una identidad Wronskiana:

$$ W(W(u_1, u_3, u_4)(x), W(u_2, u_3, u_4)(x))(x) = W(u_1, u_2, u_3, u_4)(x) \cdot W(u_3, u_4)(xq^{-2}). $$ Muchas gracias.

Edición: La versión general de la identidad es la siguiente. Sea $W_s(i)=W(u_1, \ldots, \hat{u_i}, \ldots, u_{s+1})$ , donde $\hat{u_i}$ significa sin $u_i$ . Funciones dadas $u_1, \ldots, u_{s+1}$ .

$$ W_{k+1}(W_s(s-1)(x), W_s(s-2)(x), \ldots, W_{s}(s-k-1)(x))(x) = \\ \left(\prod_{j=1}^{k} W_{s+1}(u_1, \ldots, u_{s+1})(xq^{-2(j-1)})\right) \cdot W_{s-k}(u_{k+2}, \ldots, u_{s+1})(xq^{-2k}). $$

Answer 1

Descargo de responsabilidad: Esto no es una respuesta... sólo una idea que no cabe en un comentario.

No se me ocurre un buen truco para conseguir una prueba deslizante, pero aquí tienes una sugerencia para organizar los datos con los que estás trabajando.

Dejemos que $u_{ij} = u_i(xq^{-2(j-1)})$ . Entonces $u_{21} = u_2(x)$ y $u_{23} = u_2(xq^{-4})$ etc. Entonces

$$W(u_1,u_2,\dots,u_n)(x) = \mathrm{det} \begin{bmatrix} u_1(x) & u_1(xq^{-2}) & \cdots & u_1(xq^{-2n-2}) \\ u_2(x) & u_2(xq^{-2}) & \cdots & u_2(xq^{-2n-2}) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ u_n(x) & u_n(xq^{-2}) & \cdots & u_n(xq^{-2n-2}) \end{bmatrix} $$ $$ = \mathrm{det} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix} = W(u_{11},u_{21},u_{31},u_{41})$$

Fíjate que, por ejemplo, $u_{23}(x) = u_{21}(xq^{-4}) = u_{22}(xq^{-2})$ . Así que $W(u_3,u_4)(xq^{-2})=$ $W(u_{31},u_{41})(xq^{-2})=$ $W(u_{32},u_{42})(x)$

De nuevo, sé que esto no resuelve el problema, pero tal vez reorganizando los datos de esta manera se obtenga una prueba razonable.