¿Cómo puedo solucionar el siguiente límite?

Question

El límite es de: %#% $ de #% el límite es el tipo de $$\lim{x\to\infty}\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)^x$, desde: $1^\infty$ $ es el más lejano fui: $$\lim{x\to\infty}\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)^x=\left(\frac{2\times\frac{\pi}{2}}{\pi}\right)^\infty=\left(\frac{\pi}{\pi}\right)^\infty=1^\infty$ $ $$L = \lim{x\to\infty}\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)^x$ $ que se convierte en $$\ln(L) = \lim{x\to\infty}\ln\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)^x=\lim_{x\to\infty}x·\ln\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)$ y no sé dónde ir desde aquí

Answer 1

Sugerencia Hacer el cambio de variables $$ 1+t=\frac{2\arctan(x)} {\pi} $$ y que $$ \cot\alpha\sim\frac{1}{\alpha}\quad\mbox{for}\quad\alpha\to 0 $$

Answer 2

Hay una manera de completar su argumento, aunque el trabajo es un poco tedioso. Observar que $$ x \cdot \ln \left( \frac{2 \cdot {\bronceado^{-1}}(x)}{\pi} \right) = \frac{\ln \left( \dfrac{2 \cdot {\bronceado^{-1}}(x)}{\pi} \right)}{\left( \dfrac{1}{x} \right)}. $$ Como $$ \lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{2 \cdot {\bronceado^{-1}}(x)}{\pi} \right) = \ln \left( \lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot {\bronceado^{-1}}(x)}{\pi} \right) = \ln(1) = 0 $$ y $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, $$ podemos aplicar la Regla de l'Hôpital para obtener \begin{align} \ln(L) &= \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left( \frac{2 \cdot {\tan^{-1}}(x)}{\pi} \right) \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( \dfrac{2 \cdot {\tan^{-1}}(x)}{\pi} \right)}{\left( \dfrac{1}{x} \right)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{d}{dx} \left[ \ln \left( \dfrac{2 \cdot {\tan^{-1}}(x)}{\pi} \right) \right]}{\dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{1}{x} \right]} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{\left[ \dfrac{1}{(1 + x^{2}) \cdot {\tan^{-1}}(x)} \right]}{\left( - \dfrac{1}{x^{2}} \right)} \\ &= - \frac{2}{\pi}. \end{align} Por lo tanto, $$ L = e^{\ln(L)} = e^{- 2/\pi}. $$

Answer 3

Poner $$\cot^{-1}x=y\implies \tan^{-1}x=\frac\pi2-y,y=\cot x$$ and as $x\to\infty,y\to 0$

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2\arctan(x)}{\pi}\right)^x$$

$$=\lim_{y\to 0}\left(\frac{2(\frac\pi2-y)}{\pi}\right)^{\cot y}$$

Que $z=\left(\frac{2(\frac\pi2-y)}{\pi}\right)^{\cot y}$

Así, $$\log z=\cot y\log(1-\frac{2y}{\pi})$ $

Así, $$\lim{y\to 0}\log z=\lim{y\to 0}\cot y\log(1-\frac{2y}{\pi})=-\frac2\pi\frac{\left(\lim{y\to 0}\cos y\right)}{\left(\lim{y\to 0}\frac{\sin y}y\right)}\left(\lim_{y\to 0}\frac{\log(1-\frac{2y}{\pi})}{(-\frac{2y}{\pi})}\right)$ $

$$\lim{y\to 0}\log z=-\frac2\pi\implies \lim{y\to 0}z=e^{-\frac2\pi}$$

Answer 4

Vamos a ver un acercamiento básico basado en $\lim_{x\to \infty} (1+1/x)^x=e$ y regla de l'Hôpital. Entonces

$$\lim{x\to\infty}e^{\left(\displaystyle \frac{\arctan(x)-\frac{\pi}{2}}{\displaystyle\frac{\pi}{2x} }\right)}=\lim{x\to\infty}e^{\left(\displaystyle \frac{-2x^2}{\pi (x^2+1)}\right)}=e^{\displaystyle\frac{-2}{\pi}}$$

Q.E.D. (Chris)