¿Representación geométrica de la bola de la unidad?

Question

Deje $E$ ser el espacio vectorial de $\mathbb{R}$valores de funciones continuas en $[0\ 1]$. Con la norma $\| f \| = \max \{\ | f (x) |; 0 \leq x \leq 1\}$, la bola abierta centrada en $f$ y radio de $r$ tiene una simple representación gráfica: se trata de una "paralela a f band": la distancia desde todos los punto de la función en cada uno de sus dos bordes es constante e igual a $r$; por ejemplo, la bola cerrada de centro de la constante de la función $f(x)= 5$ y radio de $1$ es el conjunto de todas las funciones en $E$ contenida en el rectángulo de vértices $(0,4),(1,4),(1,6),(0, 6)$.

Hay una similar o análogo de representación geométrica cuando la norma en $E$ está dado por $\int_{{0}}^{1}|f(x)|$?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Deje $B$ denotar la unidad de la bola en el espacio de funciones continuas en $[0, 1]$ con respecto al $1$-norma, es decir, el conjunto de continuo, con un valor real de las funciones de $f$ tal que $$ \|f\|_{1} = \int_{0}^{1} |f(x)|\, dx < 1. $$

No hay ninguna caracterización geométrica de $B$ en el siguiente sentido:

Teorema: Si $X$ es un subconjunto de a $[0, 1] \times \Reals$, entonces existe un elemento de a $B$ cuya gráfica no está contenido en $X$.

Prueba: Si $(x_{0}, y_{0})$ es un punto arbitrario de $[0, 1] \times \Reals$, la gráfica de la función continua $f:\Reals \to \Reals$ definido por $$ f(x) = \begin{cases} y_{0}\bigl[1 - (|y_{0}| + 1) \cdot |x - x_{0}|\bigr] & \text{if %#%#%,} \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ es un pico triangular con vértice en $|x - x_{0}| < \dfrac{1}{|y_{0}| + 1}$ y adjuntando área $$ \tfrac{1}{2}(\text{base})(\text{altura}) = \frac{|y_{0}|}{|y_{0}| + 1} < 1. $$ La restricción de a $(x_{0}, y_{0})$ da un elemento de $[0, 1]$ cuya gráfica contiene el punto de $B$. Es decir, para cada punto de $(x_{0}, y_{0})$ de la franja de $p$, existe un elemento de a $[0, 1] \times \Reals$ cuya gráfica contiene $B$.