$\int \frac1{\sqrt{u}}du$ da dos respuestas diferentes

Question

Tengo la siguiente integral $$\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx$$ So I do $u$ sustitución $$u = -x^2 + 4$ $ $$du = -2x$ $

y la siguiente $$-\frac12\int \frac1{\sqrt{u}}du$$ I then can get TWO answers 1) Using $\int\frac1x = LN (x) $

2) regla general potencia de el uso

¿Qué pasa? ¿Es que no puedo hacer el reemplazo de sqrt(u) con una w? ¿Por qué no? no es sólo un marcador, por así decirlo.

Answer 1

El problema no es con $w = {\sqrt u}$. Por el contrario, no representan el $$dw = \frac 12 u^{-1/2} \,du = \frac 12\cdot \frac {du}{\sqrt u}$ $

Cuando usted eligió expresar una función de $w$ $u$, es necesario también expresar $dw$ $du$. Si hacemos esto, tenga en cuenta % $ $$-1/2 \int \frac {du}{\sqrt u} = -\int dw = -w + C = -\sqrt u+C = -\sqrt{4-x^2} + C$

El segundo método es la manera más sencilla: usando la regla de la potencia.

Answer 2

La regla de la potencia es una forma válida de resolver el problema. Si decides escribir $w=\sqrt{u}$, también deberá hacer una sustitución para $du$ basado en $dw=\frac{1}{2\sqrt{u}}\,du$.

Este es un buen ejemplo de por qué debe evitar la taquigrafía al escribir integrales, es decir, escriba %#% $ #% en lugar de %#% $ #%

Edición: Tenga en cuenta que el $$\int\frac{du}{\sqrt{u}}$ y $$\int\frac{1}{\sqrt{u}}.$ actualmente en la cuestión fueron agregados por la edición de otro usuario.

Answer 3

Olvidó el dx. ¿Adónde van? No creo que la integral participación de la $u$ está bien. Necesita expresar dx en du antes de llegar incluso a la forma de u de su integral.