Resumen de esta gran serie.

Question

El valor de$\dfrac{2^2+1}{2^2-1}+\dfrac{3^2+1}{3^2-1}...+\dfrac{2011^2+1}{2011^2-1}$ es:

• En el intervalo$(2010,2010\frac{1}{2})$
• En el intervalo$(2011-1/2011,2011-1/2012)$
• En el intervalo$(2011,2011\frac{1}{2})$
• En el intervalo$(2012,2012\frac{1}{2})$

Lo estoy mirando pero no veo ningún truco para resolverlo.

Creo que hay algún truco como el de la forma$a^2+b^2/(a-b)(a+b)$.

Answer 1

Tenga en cuenta que$$\frac{k^2+1}{k^2-1}=\frac{k^2-1}{k^2-1}+\frac{2}{k^2-1}=1+\frac{2}{k^2-1}=1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}$ $ para que \begin{align} \sum_{k=2}^{2011}\frac{k^2+1}{k^2-1}&=\sum_{k=2}^{2011}\left(1+\frac{2}{k^2-1}\right)\\ &=2010+\sum_{k=2}^{2011}\frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^{2011}\frac{1}{k+1}\\ &=2010+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2012}-\frac{1}{2011}+\sum_{k=3}^{2010}\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{2010}\frac{1}{k}\\ &=2010+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2012}-\frac{1}{2011} \end {align}, de modo que sea un poco menos que$2011\frac12$, así que esté en el intervalo$(2011,2011\frac12)$.

Answer 2

Sugerencia: $$ \ frac {n ^ {2} +1} {n ^ {2} -1} = 1 + \ frac {1} {n-1} - \ frac {1} {n +1}. $$