Intuición para la compactación del espacio proyectivo real $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$.

Question

Quiero tener una intuición de por qué el $n$-dimensional real proyectiva del espacio definido como $$\mathbb{R}\mathbb{P}^n:=\mbox{set of 1-dimensional subspaces of }\mathbb{R}^{n+1}$$ es compacto. Yo no ver cómo es limitada ya que los subespacios puede "extender" a tanto como quiero.

Pero sé que la prueba:

Definir una relación en $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ través $x\sim y \Leftrightarrow \ x=\lambda y, \ \lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$,, w.r.t. esta relación de equivalencia, $$\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}/\sim \ \equiv \mathbb{R}\mathbb{P}^n.$$ There is a homeomorphism from $\mathbb{R}\mathbb{P}^n \mbox{ a } \mathbb{S}^n/\sim$ where $x\sim -x, \forall x\in \mathbb{S}^n$. It is $$f:\mathbb{R}\mathbb{P}^n \to \mathbb{S}^n/\sim, \ [x]\mapsto \bigg[\frac{x}{||x||}\bigg].$$ The compactness of $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$ follows from $\mathbb{S}^n/\sim$ ser compacto.

Para repetir: Mi pregunta es acerca de tener una intuición. No puedo ver cómo $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$ está acotada. Tal vez, usted debe darme el conjunto preciso que contendrá $\mathbb{R}\mathbb{P}^n.$

Answer 1

Un conjunto abierto en $\mathbb{RP}^n$ es básicamente un abrir cono en $\mathbb{R}^{n+1}$, o también puede ser visto sólo como un conjunto abierto en $S^{n}$ que es simétrica basora el origen, por lo $U \subset S^n$ tal que $U = -U$. Por lo tanto, cualquier apertura de la tapa de $S^n$ da una apertura de la tapa de la esfera. Más en general, el punto es que cada rayo corresponde (uniuqe a firmar) a un punto de la esfera, por lo que a pesar de que los rayos mirada sin límites el punto es. Para otra perspectiva, por quotienting los rayos hacia abajo a los puntos, que son, básicamente, matando a la ilimitada parte de $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$.

Answer 2

"Limitado", no es realmente el derecho intuitiva de la noción de estar pensando, debido a la topología de $\mathbb R \mathbb P^n$ no se define por una métrica. En su lugar, creo que la más clara intuición proviene de pensar acerca de la compacidad secuencial: Cada secuencia en $\mathbb R\mathbb P^n$ tiene un convergentes larga. (Para los colectores, la compacidad y compacidad secuencial son equivalentes).

Supongamos $\{\xi_i\}$ es cualquier secuencia de puntos en $\mathbb R \mathbb P^n$ (es decir, cualquier secuencia de $1$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb R^{n+1}$). Cada una de las $\xi_i$ cruza la unidad de la esfera en dos puntos, decir $\{x_i,-x_i\}$. Debido a $\mathbb S^n$ es compacto, la secuencia de $\{x_i\}$ tiene un convergentes subsequence $\{x_{i_j}\}$. Y porque el cociente de mapa de $q\colon \mathbb R^{n+1}\smallsetminus \{0\}\to \mathbb P^n$ es continua, se sigue que $\xi_{i_j} = q(x_{i_j})$ converge.

Tl;dr: $1$-dimensiones de los subespacios se determina por el lugar donde se reúnen la unidad de la esfera, y la compacidad de la esfera garantiza que los subespacios no puede vagar demasiado lejos.