Hace algún tiempo, recibí una pregunta de la forma $\sqrt{a+(p-q)^\frac{1}{3}+(p+q)^\frac{1}{3} }$, que después de cubicación me di cuenta de que $(p-q)^\frac{1}{3}+(p+q)^\frac{1}{3} = -a $. Que el conjunto de mis instintos, y me di cuenta de que todos los cúbicas de la forma $x^3 = a + bx$ debe tener una solución de la forma $(p-q)^\frac{1}{3}+(p+q)^\frac{1}{3}$, así que me vino a la fórmula:
$$(\frac{a}{2} - \sqrt{\frac{27a^2-4b^3}{108}})^\frac{1}{3} + (\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{27a^2-4b^3}{108}})^\frac{1}{3}$$
Aún no se lo he logrado verificar la fórmula, sobre todo porque de mis fallos de etiquetado de $a, b$, y han sido un poco pésimo para arreglar eso. De todos modos, para comprobar mi fórmula la he inventado al azar cúbicos, $2x^3-5x - 6$, porque tenía la raíz de $2$. Ahora puedo conectar en los valores, $b=\frac{5}{2}$ $a=3$ en mi fórmula, que da:
$$(\frac{9\sqrt{6} - 19}{6\sqrt{6}})^\frac{1}{3} + (\frac{9\sqrt{6} + 19}{6\sqrt{6}})^\frac{1}{3}$$
Después de que yo no era capaz de hacer una sola manipulación, aparte de notar que el denominador común es $\sqrt{6}$, sin embargo Wolfram Alpha me dice que el valor es, simplemente,$2$. Que es mi primera pregunta, ¿cómo debo simplificar la expresión anterior tal que rápidamente se da la versión simplificada de la respuesta. De hecho, me gustaría que un general del seguro-fuego de la técnica, desde que me encuentro con este tipo de dilema todo el tiempo.
De todos modos, me hizo buscar un poco en Google a partir de entonces, y vino a esta: http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac11/fac11.html , el que me mostró cómo calcular la solución para cualquier tipo de cubic. Me gustó mucho el método, aunque tengo algunas dudas sobre la sustitución, $x=y-\frac{b}{3a}$. No es que sus incorrecta, me gustaría saber la motivación de la que se obtiene que la sustitución. Me gustaría saber ¿cómo podemos encontrar hermosos resultados, que podemos utilizar por ejemplo para borrar el cúbicos término de una ecuación de cuarto grado.
