Hartshorne, ejercicio II.2.18: un morfismo de anillo es sobreyectiva si induce un Homeomorfismo en un subconjunto cerrado, y el mapa de gavilla es sobreyectiva

Question

Deje $\phi:A\to B$ ser un anillo de morfismos, y deje $f:X=Spec(B)\to Y=Spec(A)$ ser inducida por el mapa de afín esquemas.

Estoy tratando de mostrar que si $f$ es un homeomorphism en un subconjunto cerrado de $Y$ $f^\#:\mathcal{O}_Y\to f_*(\mathcal{O}_X)$ es surjective, a continuación, $\phi$ es surjective.

Hartshorne sugiere que el factor de la ruta a través del cociente. Así que vamos a $\pi:A\to A/ker \phi$ $\tilde \phi:A/ker \phi\to B$ ser canónica de mapas.

$\tilde \phi$ induce un mapa de $\tilde f:X\to Y'=Spec (A/ker\phi)$, e $\pi$ induce un mapa de $g:Y'\to Y$.

Mi idea es: demostrar que $g_*\tilde f^\#$ es un isomorfismo. Entonces, si aplicamos el mundial secciones functor a, obtenemos $\tilde \phi$ que es entonces también un isomorfismo.

En primer lugar, $g_*\tilde f^\#$ es surjective, ya $f^\#=g_*\tilde f^\# \circ g^\#$, e $f^\#$ es surjective por hipótesis.

Ahora, desde la $\tilde \phi$ es inyectiva, podemos conseguir que $\tilde f^\#$ es inyectiva (parte anterior del ejercicio). La imagen directa functor $g_*$ exacto (ya que es el derecho medico adjunto a la inversa de la imagen functor $g^{-1}$), por lo $g_*\tilde f^\#$ también es inyectiva.

Por lo tanto $g_*\tilde f^\#$ es un isomorfismo.

A continuación, $(g_*\tilde f^\#)_Y=\tilde f^\#_{Y'}=\tilde \phi$ es un isomorfismo. QED

Algo debe estar mal con mi argumento, ya que yo no uso la hipótesis de que la $f$ es un homeomorphism en un subconjunto cerrado de $Y$.

He visto soluciones en línea que hacer lo siguiente: demostrar que $\tilde f$ es un homeo, entonces de alguna manera (no explicitado) de surjectivity de $g_*\tilde f^\#$ tenemos surjectivity de $\tilde f^\#$. A continuación, $\tilde f$ es un isomorfismo de afín a sistemas, por lo tanto $\tilde \phi$ es un isomorfismo de anillos.

¿Cómo sacan surjectivity de $\tilde f^\#$ de surjectivity de $g_*\tilde f^\#$?

Answer 1

Su solución es correcta. La hipótesis sobre las causas que mapa es superfluo, y de hecho sigue de la surjectivity de la gavilla mapa. Recuerdo que de ser expulsado por esta cuestión por la misma razón, el año pasado. Hay unos cuantos de esos en Hartshorne; manténgase alerta!

Aquí es otra forma de ver esto, si desea familiarizarse con esta línea de pensamiento. Deje $\mathcal I$ ser el núcleo de $f^\sharp$. A continuación, tenemos la secuencia de cuasi-coherente con poleas en $Y$:

$$0 \to \mathcal I \to \mathcal O_Y \to f_* \mathcal O_X \to 0.$$

Desde un afín esquema no tiene cohomology, obtenemos una secuencia exacta

$$0 \to I \to A \to B \to 0,$$

por lo que el mapa de $A \to B$ es surjective.