¿Cómo se puede demostrar que la transformada de Fourier de $\log |x|$ es % $ $$-\pi \mathrm{pf} \frac{1}{|\xi|} +C \delta,$donde $\mathrm{pf}\frac{1}{|x|} = D(\mathrm{sign}(x)\log|x|)$ (en el sentido de distribuciones) y cómo puedo calcular el % constante $C$?
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Anthony Shaw
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Una forma estándar para calcular la transformada de Fourier de este tipo de función es multiplicar por $e^{-\epsilon x^2}$ y deje $\epsilon\to0$. $$ \begin{align} &\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^\infty e^{-\epsilon x^2}\log\!|x|\,e^{-ix\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=2\lim_{\epsilon\to0}\int_0^\infty e^{-\epsilon x^2}\log(x)\,\cos(x|\xi|)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac2{|\xi|}\lim_{\epsilon\to0}\int_0^\infty e^{-\epsilon x^2}\log(x)\,\mathrm{d}\sin(x|\xi|)\\ &=-\frac2{|\xi|}\lim_{\epsilon\to0}\int_0^\infty e^{-\epsilon x^2}\frac{\sin(x|\xi|)}x\,\mathrm{d}x +\frac2{|\xi|}\lim_{\epsilon\to0}\int_0^\infty2\epsilon xe^{-\epsilon x^2}\log(x)\sin(x|\xi|)\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac\pi{|\xi|}+\frac2{|\xi|}\lim_{\epsilon\to0}\int_0^\infty2\epsilon xe^{-\epsilon x^2}(\log(x)-\log(|\xi|))\sin(x)\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac\pi{|\xi|}\tag{1} \end{align} $$
Se puede estimar $$ \frac1M\int_0^M\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x=O\!\left(\frac{\log(M)}M\right)\etiqueta{2} $$ porque $$ \begin{align} &2\int_0^{2k\pi}\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x -\overbrace{\int_0^\pi\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x}^\text{constant} +\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{2k\pi}\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x +\int_\pi^{(2k+1)\pi}\log(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{2k\pi}(\log(x)-\log(x+\pi))\sin(x)\,\mathrm{d}x\\[9pt] &=O(1)\tag{3} \end{align} $$
Definir $$ F(x)=\frac1x\int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t\implica f(x)=F(x)+xF'(x)\etiqueta{4} $$ entonces $$ \begin{align} \int_0^\infty2xe^{-x^2}f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_0^\infty2xe^{-x^2}(F(x)+xF'(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty2xe^{-x^2}F(x)\,\mathrm{d}x+\int_0^\infty2x^2e^{-x^2}\,\mathrm{d}F(x)\\ &=\int_0^\infty2xe^{-x^2}F(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^\infty F(x)\left(4x-4x^3\right)e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty\left(4x^3-2x\right)e^{-x^2}F(x)\,\mathrm{d}x\tag{5} \end{align} $$
Ecuaciones $(2)$ $(5)$ validar el último paso en $(1)$.
Aunque el cálculo anterior no se calcular el $\delta(x)$ componente, ya que $-\frac\pi{|\xi|}$ no es integrable cerca de $0$, cualquier prueba de función debe ser$0$$0$. Esto significa que el coeficiente de $\delta(x)$ es irrelevante.
Drealmer
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Sí, los cálculos son estándar, pero/y se puede hacer de varias maneras. Un enfoque es observar primero que ${d\over dx}(\log|x|)$ es el principal valor de la integral $u$ contra $1/x$ ( $1/|x|$ ). Este principal valor de la integral no es un literal de integrar-en contra de la funcional, ya que $1/x$ no es localmente integrable (ni es $1/|x|$). Aunque no es un literal integral, todavía se muestra directamente que $x\cdot u = 1$, donde a la izquierda de la multiplicación por la función suave (de crecimiento moderado...) en templado distribuciones es como de costumbre. (Simplemente no se puede "dividir" en un pointwise sentido).
La transformada de Fourier tiene una fácilmente verificados por el efecto positivo de la homogeneidad, y paridad: la FT de $|x|^{-s}$ es una constante en varios de $|x|^{1-s}$, literalmente, así que para $0<\Re(s)<1$, y luego por meromorphic continuación. Por lo tanto, la transformada de Fourier de $u$ es una constante en varios de $\mathrm{sgn}\,x$. Mediante la integración en contra de $xe^{-\pi x^2}$, por ejemplo (o casi cualquier otro impar Schwartz función) uno encuentra que la constante es $-i\pi$ (tal vez!).
Por lo tanto, dejando $F$ ser transformada de Fourier, $$ -i\pi \mathrm{sgn}\,x \;=\; F u \;=\; F{d\más de dx}\log|\cdot| \;=\; -2\pi ix \cdot F\log|\cdot| $$ Por lo tanto, $2x\cdot F\log|\cdot|= \mathrm{sgn}\,x$. De nuevo, no podemos muy dividir pointwise. Sin embargo, el núcleo de la multiplicación por$x$ operador en templado distribuciones se compone de las distribuciones soportadas en la $\{0\}$, que (esencialmente por la teoría de Taylor-Maclaurin de la serie) es simplemente combinaciones lineales finitas de Dirac $\delta$ y sus derivados. Además, la única combinación lineal aniquilado por el mult n por $x$ son sólo múltiplos de $\delta$ sí. Por lo tanto, la relación $2x\cdot F\log|\cdot|=\mathrm{sgn}\,x$ determina que la transformada de Fourier a múltiplos de $\delta$.
Para determinar la constante, vamos a $g(x)=e^{-\pi x^2}$, por ejemplo, y para arbitrario Schwartz función de $f$, el uso de la norma truco $$ v(f) \;=\; v(f-f(0)\cdot g)+f(0)v(g) $$ y, a continuación, evaluar $v(f-f(0)g)$ utilizando el literal integral de la definición, ya que $f-f(0)g$ se desvanece en $0$, etc.
EDIT: por solicitud de la pregunta, te voy a dar la determinación de la constante idea (en principio estándar, pero... etc) con más detalle, aunque yo tendría que pensar más para expresarlo en términos de Euler-Mascheroni constante, etc.
Es decir, que $u=\widehat \log|\cdot|$. Supongamos que sabemos que $x\cdot u=a\cdot \mathrm{sgn}\,x$, donde he escrito otra constante $a$ a acomodar posible antes de boo-boos, y hacer que sea más fácil de seguir. También tenga en cuenta que para una función de prueba de $f$ si $f(0)=0$, $f(x)/x$ es también una función de prueba. Deje $g$ ser el de Gauss, como en el anterior. A continuación, $f(x)-f(0)\cdot g(x)$ es de la forma $x\cdot h(x)$ para una función de prueba de $h$. Por lo tanto, $$ u(f) \;=\; u(f-f(0)g) h)+f(0)u(g) \;=\; u(x\cdot {f-f(0)g\sobre x}) + \delta f \cdot u(g) \;=\; (x\cdot u)({f-f(0)g\sobre x}) + \delta f\cdot u(g) $$ $$ \;=\; a\int \mathrm{sgn}\,(x)\cdot {f(x)-f(0)g(x)\sobre x}\;dx + \delta f\cdot u(g) \;=\; a\int {f(x)-f(0)g(x)\|x|}\;dx + \delta f\cdot u(g) $$ La integral puede ser explicado de diversas maneras, por ejemplo, la integración por partes. La parte más desconocida de la empresa es la constante de $u(g)$, lo que parece (tal vez en parte) el coeficiente de $\delta$.
Editar-Editar: en respuesta a algunas preguntas: para ver la fuga en$0$$f-f(0)g$: $$ f(0)-f(0)\cdot g(0) \;=\; f(0) - f(0)\cdot 1 \;=\; 0 $$ El hecho de que $$ u(f) \;=\; u(f-f(0)g+f(0)g)\;=\;u(f-f(0)\cdot g) + u(f(0)\cdot g) \;=\; u(f-f(0)\cdot g) + f(0)\cdot u(g) $$ es la linealidad de la $u$. En cuanto a la evaluación de la constante que implica el de Euler-Mascheroni constante, no tengo una respuesta fácil. Pero en el sentido literal de la integral se puede manipular de varias maneras, por ejemplo integrando por partes, para obtener algo como su 'pf' funcional.
