Valor inicial para que una secuencia se convierta en periódica.

Question

Lo siguiente es del anterior Proofathon concurso:

Dejemos que $a_{n}$ sea la secuencia definida por la recursión $ \sqrt{a_{n+1}}= (2(\sqrt[2014]{a_n})-1)^{2014}. $

Encuentra todos los valores de $a_1$ tal que $(a_n)$ se vuelve eventualmente periódica.

No pude resolver esto completamente.

Configurar $v_n=\sqrt[2014]{a_n}$ tenemos $v_{n+1}=(2v_n-1)^2$ .

Jugando con esta última recursión, parece comportarse de forma muy aleatoria para valores iniciales en $(\frac34,1)$ ...

Además, es trivial demostrar que $a_1>1 \implies a_n \to \infty$ .

Por supuesto, $(a_n)$ es constante cuando $\displaystyle a_1=\frac{1}{4^{2014}}$ y $a_1=1$ .

$a_1=0$ también encaja. ¿Y otros valores?

Answer 1

Asumo que estamos hablando de valores reales, por lo que podemos suponer $a_n\ge0$ . Y como ya se ha deshecho de $a_n>1$ podemos suponer que $0\le a_n\le1$ . Así que, deja que tu $v_n$ sea $\cos^2\theta_n$ Es decir, $$a_n=\cos^{4028}\theta_n\ .$$ Entonces $$\cos^2\theta_{n+1}=(2\cos^2\theta_n-1)^2=\cos^2(2\theta_n)\ .$$ La secuencia será periódica si y sólo si $$\cos^2(\theta_{l+k+1})=\cos^2(\theta_{l+1})$$ para algunos enteros $k>0$ , $l\ge0$ Es decir, $$\cos^2(2^{l+k}\theta_1)=\cos^2(2^l\theta_1)\ ,$$ que se cumple si y sólo si $$2^{l+k}\theta_1=m\pi\pm2^l\theta_1$$ para algunos $m\in\Bbb N$ . Por tanto, la secuencia es periódica si y sólo si $$a_1=\cos^{4028}\Bigl(\frac{m\pi}{2^l(2^k\pm1)}\Bigr)$$ para algunos enteros $k>0$ , $l\ge0$ , $m\ge0$ .

Pero hay más ... de hecho, $k,l,m$ puede elegirse de manera que el término entre corchetes sea cualquier múltiplo racional positivo de $\pi$ . Porque si $p/q$ está dado podemos escribir $$q=2^sr$$ donde $r$ es impar y luego $$k=\phi(r)\ ,\quad l=s\ ,\quad m=pt$$ donde $2^k-1=tr$ para dar $$\frac{m}{2^l(2^k-1)}=\frac{pt}{2^s(tr)}=\frac{p}{q}\ .$$ En resumen: la secuencia es finalmente periódica si y sólo si $$a_1=\cos^{4028}(\alpha\pi)$$ para algunos racionales $\alpha$ .

Comentarios

• De hecho, el signo más en el denominador es redundante ya que podemos escribir $$\frac{m\pi}{2^l(2^k+1)}=\frac{(2^k-1)m\pi}{2^l(2^{2k}-1)} =\frac{m'\pi}{2^l(2^{k'}-1)}\ .$$
• Si tomamos el signo menos en el denominador y $l=0$ entonces $m=1$ , $k=2$ da $$a_1=\frac{1}{4^{2014}}$$ como ha mencionado en la pregunta, mientras que $m=3$ , $k=4$ da $$v_1=\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{5}\Bigr)=\frac{3+\sqrt5}{8}$$ según un comentario de @EwanDelanoy.
• Para conseguir $a_1$ cerca de $1$ , digamos que $a_1>\frac{3}{4}$ como en el OP, necesitaremos $\cos\theta_1$ muy muy cerca de $1$ y por lo tanto $\theta_1$ muy muy pequeño. Así que para obtener un valor repetido tendremos que dar un número muy grande de pasos. En otras palabras, el período (incluso si $a_1$ tiene un valor adecuado) será muy grande, y esto explica por qué el comportamiento parecía aleatorio.