En la Proposición 10.10 de Euclides y sus Elementos, de Euclides intenta construir un segmento de línea que es inconmensurable con un determinado segmento de línea. (Dos segmentos de línea son inconmensurables si no existe ningún segmento de línea que ambos son múltiplos enteros de, o, equivalentemente, si la proporción de sus longitudes no es igual a una proporción de números naturales.) He aquí lo que dice:
Dejar que Un ser asignado en línea recta. Es necesario encontrar dos líneas rectas inconmensurable, el uno en longitud, y el otro en la plaza también, con A. Se establecen dos números B y C, que no tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, es decir, que no sean similares plano de los números, y que se las ingenió que B es a C como el cuadrado es el cuadrado de D, para la que hemos aprendido a hacer esto. Por lo tanto el cuadrado de a es conmensurables con la plaza de D. Y, puesto que B no C la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, por lo tanto, no tiene la plaza en la plaza D la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, por lo tanto, es inconmensurable de longitud, con D.
Esta prueba se basa en Euclid de la Proposición 10.9, que dice en parte que "las plazas que no tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado también no tienen sus lados proporcionales de longitud". Así que lo que Euclides no es él elige dos números naturales B y C tales que la relación de la B a la C no es igual a una proporción de números al cuadrado. Y, a continuación, construye dos cuadrados cuyas áreas están en la relación de B a C., Y finalmente se utiliza la Proposición 10.9 para mostrar que los lados de las dos plazas son inconmensurables.
Pero mi pregunta es, ¿de dónde Euclides obtener el hecho de que no existen dos números naturales B y C tales que la relación de B a C, la mezcla no es igual a una proporción de números al cuadrado? Euclides dice: "se Establecen dos números B y C, que no tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, es decir, que no sean similares plano de los números".
Para aquellos que no saben, dos números naturales $m$ $n$ son llamados similares plano de los números si existen números naturales $p$, $q$, $r$, y $s$ tal que $m=pq$, $n=rs$, y la relación de $p$ $q$es igual a la proporción de $r$ a $s$, o lo que es equivalente a la relación de $p$ $r$es igual a la proporción de $q$$s$. Ahora el uso de Euclides de la Proposición 8.18 y la Proposición 8.11, es fácil demostrar que la relación de similares plano de los números es igual a la razón de los cuadrados de los números. Pero, ¿Euclides nunca demostrar el recíproco de esa declaración, es decir, que si dos números no son similares plano de los números y su relación no es igual a la relación de los cuadrados de los números?
Porque si Euclides no demostrar que, a continuación, él en realidad no hacer el duro de la teoría de números necesarios para demostrar que los números irracionales existen.
EDIT: me acabo de enterar de que Euclides afirmó el resultado yo lo quiero probar en un Lema tras la Proposición 10.9:
Se ha demostrado en la aritmética de los libros que similares plano de los números tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, y que, si dos números tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, entonces ellos son similares plano de los números.
El traductor dice que la justificación de esto es "VIII.26 y conversar". Aquí es lo que la Proposición 8.26:
Similares plano de los números tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado.
Pero, ¿de dónde Euclides demostrar lo contrario, a saber, que "si dos números tienen el uno al otro la relación de que un número cuadrado tiene un número cuadrado, entonces ellos son similares plano de los números"? Eso es lo difícil de probar. Euclides afirma que "se ha demostrado en la aritmética de los libros", es decir, en los Libros 7-9, pero me parece que no puede encontrar una prueba.
