Mi instructor proporciona una prueba del Teorema: El número de primos es infinito.
La prueba por Contradicción
Asumir número finito de números primos, esto significa que hay una mayor prime decir $p$.
Ahora vamos a decir que hay un primer $q$ que $q | p!+1$. Sin embargo, esto significa $q > p$, desde
hemos encontrado $q$ mayor que la supuesta mayor prime no es una contradicción
así pues, hay un número infinito de números primos.
A partir de la anterior prueba no $p!$ es p factorial, o debería decir p! es el producto de
los números primos ergo $p_1,p_2,...,p_n$ ergo es $p!$ asume que el producto de números primos?
Supongo que es el producto de los números primos, porque la mayoría de las pruebas
He visto diría
$p = p_1\times p_2\times...\times p_n$ donde $p_1, p_2,...p_n$ son todos números primos.
Respuestas
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Puede utilizar cualquiera de los dos. El producto de todos los números primos hasta $p$ se llama el primorial y a veces escrito $p#$. Tenemos $p#$ divide $p!$porque $p!$ incluye todos los números primos menos de $p$ como factores junto con otros números. La declaración que cualquier primera división $p#+1$ o $p!+1$ debe ser mayor que $p$ pasa a través y ofrece un primo mayor que $p$ como sea necesario.
El factorial y el primorial son cosas diferentes. Dado un entero positivo $n$, el factorial de $n!$ es divisible por cada número entero de$1$$n$, ya sea principal o no. por ejemplo, $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120.$
¿Qué es $5$ primorial? Hay algún desacuerdo: podría ser $2 \times 3 \times 5 = 30$, o podría ser $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310$ (el producto de los cinco primeros números primos).
Pero si estamos de acuerdo en las definiciones, se puede utilizar cualquiera de los factoriales o primorials. Lo importante es que tenemos un número divisible por lotes de distintos números primos, y uno que es divisible por ninguno de esos (sumar o restar $1$ desde el anterior para obtener la última).
El factoriales tienen una ligera desventaja en que crecen más rápido. Compare $29! = 8841761993739701954543616000000$ al producto de los números primos de$2$$29$,$6469693230$.
Ahora note que $6469693231 = 331 \times 571 \times 34231$, mientras que el menor factor primo de $8841761993739701954543616000001$$14557$.
