Extensiones HNN como grupos fundamentales

Question

He oído que la Seifert–van Kampen teorema nos permite ver HNN extensiones como fundamental grupos de adecuadamente construido espacios. Puedo entender el análogo de la declaración para amalgamado gratis de los productos, pero tienen algunas dificultades para entender el caso de los HNN extensiones. Me gustaría ver cómo HNN extensiones surgir en algunos de fácil configuración topológica.

Deje $X$ mi espacio, $Y \subseteq X$ $f$ algunos selfhomeomorphism de $Y$. Entonces considero que $C=Y \times I$ e identifique $C \times \{0\}$ S y $C\times \{1\}$$f(Y)$. Creo que el grupo fundamental del espacio resultante debe tener una presentación de la forma $$ \langle \pi_1(X),t | t g t^{-1} = f_*(g) \ \ \forall g\in \pi_1(Y)\rangle$$ (He omitido los relatores que ya aparecen en $\pi_1(X)$). Esto debería seguir de Seifert-van Kampen, pero no puedo ver que son el open conjuntos de $U,V$ a la que estamos aplicando (en las notaciones de la Wikipedia artículo). Probablemente el generador de $t$ surge como la curva obtenemos como seguir a algún punto de base $y\in Y$, pasando a través de $C$ y la espalda, así que quizá $U$ debe ser algún tipo de "tubular barrio$ de esta curva; pero no estoy seguro de cómo formalizar esta (o incluso si esto es cierto).

Answer 1

La mejor referencia para esto (al menos para mí) es estas notas de la Conferencia. Ir a través de las primeras 5 páginas. También hay muchas fotos.

Answer 2

Ya que hay varios puntos de base de los implicados, como se ha mencionado por Lor, hay un valor en el uso de groupoids para HNN extensiones. Una cuenta de este recuadro. 335 de la Topología y de la Groupoids, de la siguiente manera.

Deje $i_A:A \to G, i_B:B \to G$ ser inclusiones de dos subgrupos de $G$, y supongamos dado un isomorfismo $\theta: A \to B$. Deje $\mathbf I$ ser el groupoid con dos objetos de $0,1$ y exactamente una flecha $\iota: 0 \to 1$, y deje $\dot{\mathbf I}$ ser discretos subgroupoid de $\mathbf I$ sobre los elementos $0,1$. Forma el pushout de groupoids $$ \begin{matrix} A \times \dot{\mathbf I} &\to^i & G \cr \downarrow_j && \downarrow_\phi \cr A \times {\mathbf I} & \to_\psi & H \end{de la matriz} $$ donde $i$ es el de morfismos $(a,0) \mapsto i_A a, (a,1)\mapsto i_B\theta a$, $j$ es la inclusión y $\phi, \psi$ son definidos por el pushout. Deje $t= \psi(e,\iota)$ donde $e$ es el elemento de identidad de $A$. Entonces se verifica que esto le da a la presentación habitual de un HNN extensión.

En general hay un punto aquí acerca de la modelización de la topología. Por ejemplo, el trébol grupo $T$ tiene la presentación $\mathcal P= \{x,y:x^2=y^3\}$. El modelo topológico parece ser el pushout de espacios determinar por los dos mapas de $f,g:S^1 \to S^1$ que $f$$z \mapsto z^2$, e $g$$z \mapsto z^3$. Sin embargo, este pushout no es ni siquiera Hausdorff! Así que nos tomamos el doble de la asignación de cilindro, o homotopy pushout, $M(f,g)$ y su fundamental groupoid $$\mathbf T= \pi_1(M(f,g), \{0,1\})$$ on two points $0,1$ has generators $x$ at $0$, $y$ at $1$ and $\iota$ joining $0$ to $1$ with one relation $x^2\iota=\iota y^3$.

Así que si uno quiere homotopy pushouts en teoría de grupos es conveniente ampliar el ámbito de discurso a groupoids. Esta analogía entre homotopies de mapas de espacios y homotopies de morfismos de groupoids se señaló en el 1968, nombran de manera diferente, en la edición de "Topología y Groupoids".