Prueba de inducción sobre la sucesión de Fibonacci: $F(n-1) \cdot F(n+1) - F(n)^2 = (-1)^n$

Question

No consigo resolver este problema. Lo es:

Los números de Fibonacci $F(0), F(1), F(2),\dots $ se definen del siguiente modo:

\begin{align} F(0) &::= 0 \\ F(1) &::= 1 \\ F(n) &::= F(n-1) + F(n-2)\qquad(\forall n \ge 2)\end{align}

Así, los primeros números de Fibonacci son $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,$ y $21$ . Demostrar por inducción que $\forall n \ge1$ ,

$$F(n-1) \cdot F(n+1) - F(n)^2 = (-1)^n$$

Estoy atascado, ya que mi hipótesis de inducción era la ecuación final, y sustituí n en ella por n+1, lo que me dio:

$$F(n) \cdot F(n+2) - F(n+1)^2 = (-1)^{n+1}$$

Entonces intenté simplificar esto usando la primera ecuación, lo que me dio: $$[(F(n-1) + F(n-2)]\cdot F(n+2) - F(n+1)^2 = (-1)^{n+1}$$

Entonces intenté sustituir $n$ en la primera ecuación con $n+1$ pero eso me dio

$$2F(n-1) + F(n-2)$$

Realmente no estoy seguro de cómo proceder y esperaba algo de ayuda. Soy nuevo en la inducción y espero que esto es sólo un problema de álgebra y no un problema con el método, pero cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Para llevar la contraria, he aquí una prueba (¿más instructiva?) que no es directamente por inducción:

Lema. Sea $A$ sea el $2\times 2$ matriz $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. Then $A^n= \begin{pmatrix}F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ para cada $n\ge 1$ .

Esto puede demostrarse por inducción en $n$ desde $$A\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \\ F_{n-1} & F_{n-2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_n+F_{n-1} & F_{n-1}+F_{n-2} \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$$

Ahora, $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$ es simplemente el determinante de $A^n$ que es $(-1)^n$ porque el determinante de $A$ es $-1$ .

Answer 2

Base: $n = 1$

$$F_{n-1} \cdot F_{n+1} - F_{n}^2 = (-1)^n$$ $$F_{0} \cdot F_{2} - F_{1}^2 = (-1)^n$$ $$0 \cdot 1 - 1 = -1$$ $$-1 = -1 \text{, which is true}$$

Hipótesis inductiva: $n=k$

Suponemos que la afirmación se cumple para algún número $k$

$$F_{k-1} \cdot F_{k+1} - F_{k}^2 = (-1)^k$$

Paso inductivo: $n = k+1$

Tenemos que demostrar que se cumple la siguiente afirmación:

$$F_{k} \cdot F_{k+2} - F_{k+1}^2 = (-1)^{k+1}$$

Partiendo de la hipótesis inductiva tenemos:

$$F_{k-1} \cdot F_{k+1} - F_{k}^2 = (-1)^k$$

Multiplica ambos lados por $-1$ :

$$F_{k}^2 - F_{k-1} \cdot F_{k+1}= (-1)^{k+1}$$

Usando la propiedad sobre los números de Fibonacci tenemos:

$$F_{k}^2 - (F_{k+1} - F_{k}) \cdot F_{k+1}= (-1)^{k+1}$$

$$F_{k}^2 + F_{k} \cdot F_{k+1} - F_{k+1}^2 = (-1)^{k+1}$$

$$F_{k}(F_{k} + F_{k+1}) - F_{k+1}^2 = (-1)^{k+1}$$

$$F_{k} \cdot F_{k+2} - F_{k+1}^2 = (-1)^{k+1}$$

Q.E.D.

Obsérvese que su identidad se llama identidad de Cassini para los números de Fibonacci, que es una generalización de la Identidad catalana de los números de Fibonacci que establece:

$$F_n^2 -F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2$$

Answer 3

Has escrito mal el número de Fibonacci como suma. Sabes algo sobre $F_{n-1},\, F_n$ y $F_{n+1}$ por la hipótesis de inducción, mientras que $F_{n+2}$ es nuevo. Así que debe escribir $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Y en el otro sumando, escribe también un factor como suma,

$$F_n\cdot F_{n+2} - F_{n+1}^2 = F_n(F_{n+1} + F_n) - F_{n+1}(F_n + F_{n-1})$$

puede relacionarse fácil y fructíferamente con la hipótesis de la inducción.

Answer 4

Recurrencia de Fibonacci Definición: $$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} \, (where \, n \ge 2), \, and \, F_{0}=0, F_{1}=1$$

Teorema: $$\forall n\ge 1: (F_{n+1}\cdot F_{n-1}) - F_{n}^2 = (-1)^n$$

Prueba por inducción:

Escalón base: $n = 1$

$$F_{2} \cdot F_{0} - F_{1}^2 = (-1)^n$$ $$1 \cdot 0 - 1 = -1$$ $$-1 = -1 \text{, which is true}$$

Hipótesis inductiva: $n=k$

Suponemos que la afirmación se cumple para algún número $k$

$$(F_{k+1}\cdot F_{k-1}) - F_{k}^2 = (-1)^k$$

Paso inductivo: $n = k+1$

Tenemos que demostrar que se cumple la siguiente afirmación:

$$(F_{k+2}\cdot F_{k}) - F_{k+1}^2 = (-1)^{(k+1)}$$

Pero esto se puede reescribir como:

$$(F_{k}\cdot (F_{k+1} + F_{k})) - (F_{k+1} \cdot F_{k+1}) = (-1)^{(k+1)}$$

$$(F_{k}\cdot (F_{k+1} + F_{k})) - (F_{k+1} \cdot (F_{k} + F_{k-1})) = (-1)^{(k+1)}$$

$$(F_{k}^2) - (F_{k+1} \cdot F_{k-1}) = (-1)^{(k+1)}$$

desde $\forall n:-1^{n+1} \cdot -1 = -1^{n} $

$$(F_{k+1} \cdot F_{k-1}) -F_{k}^2 = (-1)^{k}$$

Answer 5

El paso inductivo es más fácil de hacer teniendo en cuenta: $$ (F_n F_{n +2} - F_{n + 1}^2) + (F_{n - 1} F_{n + 1} - F_n^2) $$ Es decir, sumando casos $n$ y $n + 1$ . Masajeando esto con la recurrencia de Fibonacci $F_{n + 1} = F_{n + 2} - F_n$ se reduce a cero, por lo que sabes que tienen el mismo valor absoluto y signos alternos.