¿Puede el inverso de una función ser igual a la función original?

Question

Me preguntaba si la inversa de una función puede ser la misma función.

Por ejemplo, cuando intento invertir

$g(x) = 2 - x$

La inversa parece ser la misma función. ¿Estoy haciendo algo mal aquí?

Answer 1

Estás en lo correcto. Una función que es su propia inversa se llama una involución.

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Editar: ¡Oh, vamos a divertirnos un poco! :) ¿Cuáles son algunas otras funciones que son fáciles de verificar que son involuciones? He seleccionado algunas de mis favoritas a continuación, tanto de memoria como también de las referencias que proporciono a continuación.

• Primero, nota que hay una prueba fácil para determinar si $f$ es una involución. Es decir, como $f^{-1} = f$, solo necesitas verificar que $f(f(x)) = x$ para todo $x$ en el dominio de $f. Esto se puede usar para verificar que los siguientes tres ejemplos son realmente involuciones.

• ¡Tu función $g(x)$ se generaliza a toda una clase de involuciones! Es decir, $$ f(x) = a-x $$ es una involución para cualquier número real $a$. En particular, $f(x) = 0 - x = -x$ es una involución (como también lo es $f(x) = x$, por supuesto).

• Como alguien señaló anteriormente, $f(x) = 1/x$ (definido para todo número real $x \neq 0$) también es una involución. Más generalmente, para cualquier número real $a$ y $b$ la función $$ f(x) = a + \frac{b}{x-a} = \frac{ax + (b-a^2)}{x-a} $$ satisface $$ f(f(x)) = a + \frac{b}{a + \frac{b}{x-a} - a} = a + (x-a) = x $$ para todo $x$ real $\neq a$, y como tal también es una involución en este dominio.

• Aquí tienes un ejemplo menos obvio (pero genial). Considera la función $f(x) = (a - x^3)^{1/3}$. Puedes verificar directamente que $f(f(x)) = (a - ((a-x^3)^{1/3})^3)^{1/3} = x$. Este es un ejemplo de una gran clase de involuciones generadas por un tipo especial de función simétrica $F(x,y)$ (como se explica aquí).

• Dato Curioso: Las únicas involuciones continuas e impares ($f(-x) = -f(x)$ para todo $x$) con dominio $(-\infty,\infty)$ son $f(x) = \pm x$. (Una breve demostración de este hecho se da aquí.)

• Hay muchas, muchas, más de estas funciones, y ocurren naturalmente/son herramientas útiles en muchas ramas de las matemáticas.

Answer 2

Está perfectamente bien, y tu respuesta es correcta. Para otra función que sea su propia inversa, mira: $$f(x) = \frac{1}{x} = f^{-1}(x)$$

Answer 3

$g(x): y=2-x$

$g^{-1}(x): x=2-y\implies x-2=-y\implies y=2-x$

Por lo tanto, estás en lo correcto. Es posible que una función sea su propia inversa.

Answer 4

Proveniente de la teoría de la codificación (decodificación de códigos LDPC), tienes otra involución: $x\mapsto-\log(\tanh(x/2))$.

Answer 5

Sí, tienes razón, una función puede ser su propia inversa. Sin embargo, noté que nadie dio una explicación gráfica para esto.

La inversa de una función de $x$ es simplemente la misma función volteada sobre la línea diagonal $x=y$ (donde $y=f(x)$). Entonces, si graficas una función y parece que se refleja a través de la línea $x=y$, esa función es una inversa de sí misma.

Esta representación gráfica puede utilizarse para entender muchas ideas geniales sobre funciones inversas.

Por ejemplo, cualquier línea recta que sea perpendicular a la línea $x=y$ será, por supuesto, exactamente la misma en ambos lados de la línea $x=y$. Cualquier función que sea una línea recta perpendicular a $x=y$ puede escribirse en la forma $f(x)=ax$, que como Dan mencionó es una clase entera de funciones de las cuales tu función simplemente resulta ser una. Ten en cuenta que el $a$ simplemente determina qué tan arriba en el eje $y$ comienza la función, pero siempre se reflejará a través de la línea $x=y$.

También puedes observar algunos hechos interesantes sobre las funciones que son sus propias inversas que podrían ser divertidos de tomarse un tiempo para demostrar. Por ejemplo, dado que necesita reflejarse sobre la línea $x=y$, cualquier función que sea su propia inversa y tenga algunos puntos donde $f(x) = x$ debe tener una pendiente de 1 o -1 en ese punto (o tener una pendiente indefinida).

Editar: Debo haber pasado por alto el comentario de Euro Micelli, que explicó el aspecto gráfico de esto literalmente años antes que yo.