Desigualdad de Cauchy

Question

Se supone que esto es una contrapartida de la desigualdad de Cauchy. Sea $f$ sea completo y $M(R) = sup_{|z|=R} |f(z)|$ y $A(R) = sup _{n0} |a_n|R^n$ demostrar que $2A(2R)$ $M(R)$

He utilizado la fórmula de Cauchy en el círculo $|z| =2r$ : $M(R) =$ $1/2{\pi}i\int f(z)/(z-z_0) dz $ para algunos $z_0$ en $|z| = R$

Luego traté de compararlo con $2A(2R)$ = $2 sup _{n0} [ 1/2{\pi}i\int f(z) e^{-ni\phi} d\phi]$

Todo parece bastante cercano, pero no está realmente allí. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Para todos $z$ , $|z| = R$ implica $|f(z)| \le \sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n|R^n \le A(2R)\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{1}{2^n} = 2A(2R)$ . Por lo tanto, $M(R) \le 2A(2R)$ .