Series complejas:$\sum_{n=0}^\infty\left( z^{n-2}/5^{n+1}\right)$ para$0 < |z| < 5$

Question

¿Cómo se calcularía $$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ {n-2}} {5 ^ {n +1}} $$ donde$0\lt|z|\lt5$?

Literalmente no tengo idea de por dónde empezar, todo lo que sé es que la respuesta no tendrá sumas. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

PS

¿Esto lo hace un poco más apetecible?

Answer 2

Como se dijo anteriormente,

$$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {z ^ {n-2} \ sobre 5 ^ {n +1}} = {1 \ sobre 5z ^ 2} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ izquierda ({z \ sobre 5} \ derecha) ^ n. $$

Para resolver esto, puede ayudarlo a realizar la sustitución$u=\frac{z}{5}$. Luego, $$ {1 \ sobre 5z ^ 2} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left ({z \ over 5} \ right) ^ n = \ frac {1} {5z ^ 2} \ sum_ { n = 0} ^ {\ infty} u ^ n. $$

La suma es geométrica en$u$; Por lo tanto, se aplica la fórmula de la serie geométrica .

Answer 3

INSINUACIÓN:

PS