Función continua monótona creciente con $\int_a^b f' = f(b) - f(a)$ que no es absolutamente continua

Question

Si $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ es continua y de valor real, f' integrable en [a, b], y $\int_a^b f' = f(b) - f(a)$ ¿f debe ser absolutamente continua? ¿Y si f es monótona creciente?

Para la primera parte, tengo como contraejemplo la función Cantor-Lebesgue unida a sí misma reflejada a través de la recta x = 1; ésta tiene derivada f' = 0 en todas partes donde existe, y f(0) = f(2) = 0, pero obviamente no es absolutamente continua.

Mi instinto me dice que debe haber un ejemplo igualmente patológico que sea monótono creciente, pero puedo estar equivocado. ¿Hay alguna manera de encontrar un contraejemplo o de utilizar el hecho de que la función es ahora monótona creciente para demostrar que $\int_a^x f' = f(x) - f(a)$ para cada x en [a, b]?

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Edición de progreso:

Parece que cualquier contraejemplo razonable es una suma de una función singular que empieza y acaba en 0, pero que sube y baja en el medio, y una función absolutamente continua que aumenta más rápido que la función singular en la parte en la que ésta baja, pero no estoy convencido de que sea posible que eso exista. Las funciones singulares no AC parecen tener inherentemente una propiedad que es algo así como una pendiente infinita en un conjunto de medida cero.

En el frente opuesto, sé que cualquier función BV f es igual a la suma de una función AC g y una función singular h, por lo que basta con demostrar que h es constante para obtener una función absolutamente continua. Demostrar que h debe ser constante significa suponer que tengo un "bache" en el que sube y luego vuelve a bajar, o viceversa, y luego demostrar que la existencia de dicho bache contradice de alguna manera una de las propiedades de f... pero no veo cómo. He intentado mirar las desigualdades basadas en la monotonicidad y parecen apuntar en la dirección equivocada para ser útiles.

Answer 1

La forma en que estaba viendo esto conduce a la locura.

Lo correcto es fijarse en dos cosas:

1. Para una función monótona creciente, la variación total sobre cualquier intervalo $[c, d]$ es igual a $f(d) - f(c)$ .
2. Debe existir alguna desigualdad conocida que relacione la variación total con la integral del valor absoluto de la derivada; en mi caso tengo $V[f; a, b] \leq \int_a^b |f'(t)|dt$ .

Para una función monótona creciente, f' es no negativa, por lo que todo esto significa que $f(d) - f(c) \leq \int_c^d f'(t) dt$ para cualquier $[c, d] \subseteq [a, b]$ . A partir de ahí, la igualdad $\int_a^b f'(t)dt = f(b) - f(a)$ es finalmente útil, si el objetivo se plantea en términos de demostrar que $\int_a^x f'(t)dt - (f(x) - f(a)) = 0$ .

Answer 2

Basta con demostrar que $$\int_a^x f'=f(x)-f(a).\tag{*}\label{eqn} $$ Es bien sabido que para una función creciente la desigualdad $\int_a^x f'\le f(x)-f(a)$ retiene. Si para cualquier $x\in [a,b]$ teníamos una desigualdad estricta en \eqref {eqn}, se seguiría que $$ \int_a^x f' < f(x)-f(a) \quad\mbox{ and }\quad \int_x^b f'\le f(b)-f(x), $$ y sumando estos dos se obtendría $\int_a^b f'< f(b)-f(a)$ . Por lo tanto, debemos tener igualdad en \eqref {eqn}, de donde $f$ es absolutamente continua.