Encontrar el área de una elipse usando Teorema de la divergencia

Question

Como un ejemplo de la Divergencia, el Teorema de, nuestro libro de texto menciona hallar el área de una elipse, pero no está claro cómo fue derivado a pesar de que.

Siguiente es un extracto de el libro de texto.

Supongamos que existe una elipse con la siguiente ecuación, $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ A continuación, podemos parametrizar en $$x=a\cos t, y=b\sin t \space (0\le t\le 2\pi)$$ Para hallar el área encerrada por la elipse, podemos utilizar la ecuación de $$area=\frac 12\int\mathbf r\cdot \mathbf n \space ds$$ donde $$\mathbf r(x,y)=x\mathbf i+y\mathbf j$$ $$\mathbf n=(b\cos t,a\sin t)/v(t)\space (v(t)=\sqrt{b^2\cos^2t+a^2\sin^2t})$$ Por lo tanto, el área de la elipse es $$\begin{align} area & = \frac 12\int\mathbf r\cdot \mathbf n \space ds \\ & = \frac 12 \int_0^{2\pi} (a\cos t, b\sin t)\cdot(b\cos t, a\sin t)dt \\ & = ab\pi \end{align}$$

Lo que yo no estoy siguiendo es que ¿cómo podemos simplemente ignorar $v(t)$ al sustituir a $\mathbf n$? O he perdido algo por el camino?

EDIT: de hecho, he intentado tirar toda la ecuación (incluyendo $v(t)$) en wolframalpha, pero, por desgracia, el motor no podía volver significado de los resultados (cálculo de tiempo de espera).

Answer 1

Bajo un poco más la configuración general, una integral de línea de un campo vectorial $(p,q)$ a lo largo de algunas orientadas a la plana de la curva de $L$ tiene la siguiente forma. $$I=\int_L\left(pdx+qdy\right).$$ Denotar $\mathbf{r}=(x,y)$ y deje $L$ ser parametrizado como $t\mapsto\mathbf{r}(t)$, $t\in[0,1]$. Siempre podemos elegir otro parámetro $s$, el llamado parámetro de longitud de arco, que satisface $\frac{d\mathbf{r}}{ds}\equiv 1$ o $ds=|\mathbf{r}'(t)|dt$. Siga sus notaciones, $\frac{ds}{dt}(t)=v(t)$. La unidad normal de campo vectorial $\mathbf{n}$ puede ser representado como $$\mathbf{n}=(\frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds})=v(t)^{-1}(\frac{dy}{dt},-\frac{dx}{dt}).$$

Si elegimos $\mathbf{f}=(q,-p)$ como un campo vectorial, entonces la integral de línea anterior puede ser reescrito como $$I=\int\mathbf{f}\cdot\mathbf{n}ds=\int\mathbf{f}\cdot(\frac{dy}{dt},-\frac{dx}{dt})dt.$$

Ahora sabemos que cuando $L$ es una simple curva cerrada, y si elegimos $\mathbf{f}=\frac{1}{2}\mathbf{r}$, la integral de línea de arriba da a la zona delimitada por $L$, es decir, $$area=\frac{1}{2}\int\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}ds=\frac{1}{2}\int(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt})dt=\frac{1}{2}\int_L( xdy-ydx).$$