¿Hay un espacio totalmente desconectado cerrado encuentro cada componente?

Question

Supongamos $X$ es compacto Hausdorff y tiene una infinidad de componentes. Parece que debe haber una manera de seleccionar al menos un punto de cada componente para el conjunto resultante es totalmente desconectada y cerrado. Pero parece más difícil de lo que pensaba.

La fuerza bruta de enfoque: Vamos a $C$ denotar la familia de componentes de $X$. Para cada una de las $c \in C$ elegir un punto de $x(c) \in c$. Entonces el conjunto $D = \{x(c): c \in C \}$ tiene sólo un punto de cada componente. Pero podría no ser cerrado. Así que redefinir $D$ como el cierre de la $\{x(c): c \in C \}$. A continuación, $D$ es cerrado, pero puede no ser totalmente desconectado.

Algún consejo?

Answer 1

Considerar %#% $ $$X=A\cup B$ #% $

Esto es Hausdorff compacto, pero cualquier subconjunto cerrado reuniones una vez cada componente tendría que contener el conjunto de $$A=\left\lbrace\left(\frac1n,\sin n\right),n\in\Bbb N\right\rbrace\qquad \text{and} \qquad B={0}\times\left[-1,1\right]$ y $A$ así.

Answer 2

Para complementar Arnaud Mortier del contraejemplo, es posible hacerlo, al menos al $X$ es segundo contable o, equivalentemente, metrizable y la descomposición de la $X$ a de sus componentes es un continuo (o, equivalentemente, semicontinua inferior) de la descomposición.

Una descomposición $C$ $X$ es superior semicontinua si para cada conjunto abierto $U ⊆ X$ el conjunto $⋃\{c ∈ C: c ⊆ U\}$ también está abierto. Y es inferior semicontinous si para cada conjunto abierto $U ⊆ X$ el conjunto $⋃\{c ∈ C: c ∩ U ≠ ∅\}$ está abierto. Por último, es continua es la parte superior e inferior semicontinuo.

Deje $q: X \to C$ ser el mapa tal que $x ∈ q(x)$ por cada $x ∈ X$. Permítanos dotar $C$ con el cociente de la topología, por lo $q$ se convierte en un cociente de mapa. Resulta que $C$ es semicontinua superior iff $q$ es cerrado, y es inferior semicontinous iff $q$ está abierto.

En tu caso en particular, cuando $C$ es la descomposición de un espacio compacto Hausdorff en sus componentes, $C$ es no sólo hereditariamente desconectado, pero incluso totalmente separados, y así cero-dimensional. Esto es debido a que los componentes y cuasi-componentes de $X$ son los mismos. En particular, $C$ es también un espacio compacto Hausdorff, y $q$ es cerrado.

Si, además, $q$ está abierto o, equivalentemente, $C$ es menor semicontinuo, podemos usar la de Michael cero-dimensional de selección teorema para obtener una continua selección de $s:C \to X$. Siendo una selección significa que $s(c) ∈ c$ por cada $c ∈ C$. Por tanto, la imagen de $s$ es un subconjunto cerrado de $X$ reunión de todos los componentes en un punto. También es homeomórficos a $C$.

Vamos a concluir con la formulación de Michael cero-dimensional de selección teorema: Deje $X$ ser un paracompact cero-dimensional espacio, y dejan $Y$ ser completamente metrizable espacio. Cada semicontinua inferior del mapa de $F:X \to \mathcal{P}(Y)$ de manera tal que todos los $F(x)$ está cerrado y no vacío admite una selección continua.

Me doy cuenta de que yo no definir semicontinous funciones, pero aquí $q$ es inferior/superior semicontinuo iff $C$ es inferior/superior semicontinuo.

[E. Michael, Seleccionados De Selección De Teoremas, La American Mathematical Monthly, Vol. 63, Nº 4. (Abr., 1956), pp 233-238]