¿El objetivo de la diferencial en variedades suave requiere la regla de la cadena?

Question

El pushforward de mapas entre suave colectores se define como sigue:

Si $f: M \to N$$a \in C^\infty(N)$, $Tf: TM \to TN$ es de $v \mapsto Tf(v)$ que opera en funciones en $N$$Tf(v)(a) = v(f^*a) = v(a \circ f)$.

Se puede demostrar que $T(g \circ f) = T(g) \circ T(f)$ donde$f: M \to N$$g: N \to P$. Este es uno de los criterios necesarios para $T$ a ser un functor de la categoría de suave colectores a la categoría de suave tangente paquetes. La prueba no requiere nada más que mover algunos símbolos a su alrededor de acuerdo a la definición dada anteriormente. No hay más supuestos acerca de la $M$ o $C^\infty(M)$ son obligatorios.

Pero el functoriality de $T$ es sólo una abstracta afirmación generalizada de la cadena la regla de cálculo, la cual establece que la derivada de una composición de funciones es la composición de los derivados, evaluados en los puntos correspondientes. En particular, mediante el establecimiento $M = N = P = \mathbf{R}$, $f$ $g$ se convierten en funciones reales de una variable, y la functoriality se convierte en $f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$. Por lo que contiene el estándar de la cadena la regla de cálculo como un caso especial.

Esta es una prueba válida de la regla de la cadena? A mí me parece que la prueba de la regla de la cadena requiere una analítica argumento descansa en la analítica de las propiedades de los números reales. No debería ser ninguna manera alrededor de este requisito. La generalización de la regla de la cadena no debe ser capaz de escapar de los requisitos y darle la prueba de la regla de la cadena "gratis".

Hay una suposición sobre la subyacente espacios en la prueba de functoriality que me he perdido? O categoría de la teoría de realmente tomar tan importante el cálculo trivial?

Answer 1

Deje $M = N = \mathbb R$, y considerar la posibilidad de $f: M \to N$, lo $f$ es un valor real de la función de una variable real. Tome $v = \partial_x$, basado en el $x_0$. Entonces $Tf(v)(a) = \partial_x(a\circ f)(x_0),$ for any $una:N \to \mathbb R$.

Para identificar este, podemos aplicar la regla de la cadena para calcular que $\partial_x(a\circ f)(x_0) = (\partial_x a)(f(x_0))\cdot f'(x_0),$ to conclude that $Tf(v)$ es igual a $f'(x_0)\partial_x$, basado en el $f(x_0)$.

A mí me parece que necesita este cálculo , a fin de obtener la la clásica regla de la cadena a partir de la functorial versión, y por supuesto he utilizado la clásica regla de la cadena en su derivación. Me estoy perdiendo algo?