Voy a suponer que la pregunta que se pretende hacer es ésta: Dada la longitud de una secuencia y los recuentos de los cuatro nucleótidos en esta secuencia (en contraposición a su frecuencia en las secuencias en general), ¿cuál es la probabilidad de que una secuencia extraída al azar de manera uniforme de todas las secuencias que cumplen esa descripción contenga exactamente un cierto número $k$ de los pares CG?
Denote los recuentos de los nucleótidos por $\def\n#1{n_{\text #1}}\n A$ , $\n C$ , $\n G$ y $\n T$ y su suma, la longitud de la secuencia, por $n$ . Entonces podemos formar $k$ pares de CG y distribuirlos $k$ pares y los restantes $n-2k$ nucleótidos individuales en
$$ \binom{n-k}{\n A,\n T,\n C-k,\n G-k,k} $$
diferentes maneras (ver coeficientes multinomiales ). Pero esto cuenta en exceso, ya que estamos permitiendo que los nucleótidos C y G restantes formen parejas. Cada combinación con $m$ se cuentan los pares $\binom mk$ veces, donde no debería contarse en absoluto. Haciendo uso de
$$ \sum_{j=k}^m\binom mj\binom jk(-1)^{j-k}=\delta_{km}\;, $$
podemos corregir el sobreconteo y calcular el recuento deseado de secuencias que cumplen la descripción como
$$ \begin{align} &\sum_{j=k}^\infty\binom{n-j}{\n A,\n T,\n C-j,\n G-j,j}\binom jk(-1)^{j-k}\\=&\sum_{j=k}^\infty\binom{n-j}{\n A,\n T,\n C-j,\n G-j,j-k,k}(-1)^{j-k}\;, \end{align} $$
donde la suma en realidad sólo llega a $\min(\n C,\n G)$ y el resto de términos son cero. Este recuento debe dividirse por el número total de secuencias que cumplen la descripción, que es
$$ \binom n{\n A,\n T,\n C,\n G}\;. $$
En su ejemplo, con $\n A=3$ , $\n C=\n G=\n T=4$ , $n=15$ y $k=3$ el resultado sería
$$ \binom{15}{3,4,4,4}^{-1}\left(\binom{12}{3,4,1,1,3}-\binom{11}{3,4,1,3}\right)=\frac{44}{1365}\approx3\%\;. $$
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Si quieres contar las secuencias con al menos $k$ todavía tenemos que corregir el sobreconteo, ya que cada una de las secuencias con más de $k$ Los pares se cuentan más de una vez, pero la corrección es ligeramente diferente. La identidad del coeficiente binomial requerida es
$$ \sum_{j=k}^m\binom mj\binom{j-1}{k-1}(-1)^{j-k}=1\;, $$
y la suma resultante es
$$ \sum_{j=k}^\infty\binom{n-j}{\n A,\n T,\n C-j,\n G-j,j}\binom{j-1}{k-1}(-1)^{j-k}\;. $$
En su ejemplo, con $\n A=3$ , $\n C=\n G=\n T=4$ , $n=15$ y $k=3$ el resultado sería
$$ \binom{15}{3,4,4,4}^{-1}\left(\binom{12}{3,4,1,1,3}\binom22-\binom{11}{3,4,4}\binom32\right)=\frac{3}{91}\approx3\%\;. $$
El cambio en relación con el resultado para exactamente $3$ pares es inferior a una décima parte. La diferencia en los recuentos,
$$ \left(\binom{12}{3,4,1,1,3}\binom22-\binom{11}{3,4,4}\binom32\right) - \left(\binom{12}{3,4,1,1,3}-\binom{11}{3,4,1,3}\right) = \binom{11}{3,4,4} \;, $$
es precisamente el número de secuencias con $4$ Pares de CG.
