El dual de la suma directa.

Question

Que $X$, $Y$, $Z$ espacios normados si X $\cong Y\oplus Z$ ¿por qué es $X^\cong Y^\oplus Z^$? donde $X^$ es el doble de $X$. Por ejemplo ${\ell^\infty}^*\cong\ell^1\oplus\mathrm{Null}\;C_0$ así que si tomamos el doble dual encontramos el ${\ell^\infty}^{*}\cong{\ell^1}^\oplus (\mathrm{Null}\; C_0)^*$. ¿No estoy seguro, que entiendo por qué deben llevar a cabo estas igualdades?

Answer 1

Deje $X \cong Y \oplus Z$ $Y$ $Z$ puede ser considerado como cerrado, que se complementa subespacios de $X$. Ahora defina $T \colon X^* \to Y^* \oplus Z^*$$Tx^* = (x^*|_Y, x^*|_Z)$. Entonces

• $T$ es acotado, como \begin{align*} \|Tx^*\| &= \|(x^*|_Y, x^*|_Z)\|\\ &\le C \bigl(\|x^*|_Y\| + \|x^*|_Z\|\bigr)\\ &\le 2C\|x^*\|. \end{align*}
• $T$ es uno-a-uno como para el $x^*$ $Tx^* = 0$ tenemos para $x \in X$, escrito como $x = y+z$, que $x^*(x) = x^*|_Y(y) + x^*|_Z(z) = 0+0=0$, lo $x^* = 0$.
• $T$ es en: Vamos a $y^* \in Y$, $z^* \in Z$. Definir $x^*\colon X \cong Y \oplus Z \to \mathbb K$$x^*(y+z) = y^*(y) + z^*(z)$, $x^*$ es delimitada como las proyecciones en $Y$ $Z$ están delimitadas y $y^*$$z^*$, lo $x^* \in X^*$ y obviamente $Tx^*= (y^*,z^*)$.
• $T^{-1}$ es limitada: $T^{-1}(y^*, z^*) = y^*P_Y + z^*P_Z$ ($P_Y$, $P_Z$ denota las proyecciones) es acotado, como las proyecciones son.

Por lo $T$ es un isomorfismo.