Pregunta sobre direuler comando en Pari/GP

Question

Desde el Pari/GP de la guía de usuarios:

3.4.16 direuler(p=a,b,expr,{c}).

Calcula el Dirichlet de la serie asociada a la Eulerproduct de la expresión expr como p varía a través de los números primos de a a b. expr debe ser un polinomio o racional en función de otra variable que p (digamos X) y expr(X) se entiende como el factor local expr(p−s). La serie es el resultado como un vector de coeficientes. Si c está presente, la salida de la primera c con coeficientes en la serie.

El siguiente comando calcula el sigma función, asociada a $$\zeta {(s)} \zeta {(s-1)} :$$

?direuler(p=2,10,1/((1-X)(1-pX)))

%1=[1,3,4,7,6,12,8,15,13,18]

Pregunta: no entiendo la direuler comando, por favor explique. Por ejemplo: ¿cómo puedo crear la serie de $\frac{1}{\zeta {(s)}}, $ $\frac {\zeta {'(s )}}{\zeta {(s)}} ?$

EDITAR:

La prueba y el error que da la respuesta a la primera pregunta es: direuler (p=2,100,(1-s)) da $ \frac{1}{\zeta {(s)}}$, pero no entiendo por qué.

Answer 1

Vamos a empezar con la definición de $\zeta(s)$ como un producto de Euler : $$\tag{1}\zeta(s)=\prod_{p} \frac 1{1-p^{-s}}$$ Una variable $x$ en el tercer parámetro "expr" es, en realidad,$\,x:=p^{-s}$.
El uso de esta sustitución se deduce que $\zeta(s)$ será dada por el producto de los términos de $\dfrac 1{1-x}$ :

> direuler(p=2,10,1/(1-x))
= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

Desde $\;\displaystyle\zeta(s-1)=\prod_{p} \frac 1{1-p^{-s+1}}=\prod_{p} \frac 1{1-p\cdot p^{-s}}\;$ podemos deducir que $\zeta(s-1)$ vendrá dado por :

? direuler(p=2,10,1/(1-p*x))
= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

y su producto $\;\zeta(s)\,\zeta(s-1)\,$ será su primer resultado :

? direuler(p=2,10,1/(1-x)/(1-p*x))
= [1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18]

Relativa $\dfrac 1{\zeta(s)}\,$ simplemente, se trata de invertir el producto de $(1)$ para obtener su segundo resultado :

? direuler(p=2,10,1-x)
= [1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1]

Correspondiente a dirdiv(vector(10), k), k==1),vector(10), k), 1)) o :

> vector(10,k,moebius(k))
= [1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1]

Relativa $\;\frac {\zeta'(s)}{\zeta(s)}\,=\log(\zeta(s))'\;$ es una suma más que un producto así que vamos a usar la de Dirichlet representación de $\,\displaystyle\zeta'(s)=-\sum_{k=1}^\infty \frac {\log(k)}{k^{s}}\,$ (desde $(k^{-s})'=-\log(k)\,p^{-s}$) y si no me hacen un error... :

> \p 6
> dirdiv(vector(10,k,-log(k)), vector(10,k,1))
= [0, -0.693147, -1.09861, -0.693147, -1.60944, 0.E-9, -1.94591, -0.693147, -1.09861, -4.65661 E-10]

La esperanza de este aclaró las cosas,