Se puede utilizar de Atiyah-Singer para demostrar que la Chern-Weil definición de las clases de Chern se $\mathbb{Z}$-cohomology clases?

Question

En Chern-Weil teoría, podemos elegir una conexión arbitrarios $\nabla$ en un vector complejo paquete de $E\rightarrow X$, obtener su curvatura $F_\nabla$, y luego de las clases de Chern de $E$ a partir de la curvatura de la forma. A priori parece que estos viven en $H^*(X;\mathbb{C})$, pero con un argumento que no me siento como que realmente lo entiendo, están en la imagen de $H^*(X;\mathbb{Z})$, que es donde generalmente se considera que realmente vivimos. También he estado recientemente en el aprendizaje acerca de la Atiyah-Singer índice teorema, y tengo la impresión de que cada vez que veo un arbitrario de constantes en la geometría que al final tienen que vivir en $\mathbb{Z}$ debo preguntarme si el índice es el teorema de acechando en alguna parte. Hay algo que a esta conjetura?

Answer 1

La respuesta es no. Ver http://mathoverflow.net/questions/69085/can-one-use-atiyah-singer-to-prove-that-the-chern-weil-definition-of-chern-classe