Problema trigonométrico utilizando trigonometría básica.

Question

Si$x$ es una solución de la ecuación:$$\tan^3 x = \cos^2 x - \sin^2 x ¿Cuál es el valor de$\tan^2 x$?

Este es el problema que se supone que debes hacer solo con la trigonometría de la escuela secundaria, pero no puedo hacerlo, por favor ayuda

Aquí están las posibles respuestas:$$a) \sqrt{2}-1, b) \sqrt{2}+1, c) \sqrt{3}-1, d) \sqrt{3}+1, e)\sqrt{2}+3

Answer 1

Suponiendo que el lado izquierdo sea$\tan^2x$

PS

Si ponemos$$\cos^2x-\sin^2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}$, la ecuación se convierte en$\tan^2x=t,

$$t=\frac{1-t}{1+t}\implies t^2+2t-1=0 $

Si$\displaystyle \tan^2x=t=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-1)}}2=-1\pm\sqrt2$ es real,$x$ y sabemos que$t=\tan^2x\ge0$

Answer 2

Sugerencia:$$(1+\tan^2 x)^2 (\tan^2 x)^3 = \left((1+\tan^2 x) (\tan^3 x)\right)^2 = \left( \frac{1}{\cos^2 x} (\cos^2 x - \sin^2 x) \right)^2 = \left( 1 - \tan^2 x\right)^2.

Answer 3

Debe tener un error en la pregunta. Se puede verificar que un) la solución consiste en raíces de polinomios de alto grado, y que b) numéricamente, ninguna de las soluciones (que no están muy probable que una simple suma de raíces cuadradas) coinciden con sus posibles respuestas. Referencia, las tres primeras soluciones positivas son: $$x=0.610549, \ 3.75214, \ 6.89373\ldots

Answer 4

$\tan^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x$

$\sin^2 x=\cos^4 x -\sin^2 x \cos^2 x$

$0=\cos^4 x -\sin^2 x \cos^2 x -\sin^2 x$

$0=\cos^4 x - \sin^2 x(1+\cos^2 x)$

$0=\cos^4 x - (1-\cos^2 x)(1+\cos^2 x)$

$0=\cos^4 x -(1- \cos^4 x)$

$0=2 \cos^4 x -1$

$\cos^2 x=\frac {\sqrt 2}{2}$

$\large \frac {1}{\cos^2 x}=\sqrt 2$

$\tan^2 x=\sqrt 2 \sin^2 x$

Parece estamos atrapados, pero desde arriba tenemos $\cos^2 x=\frac {\sqrt 2}{2}$, que $\sin^2 x=1-\frac {\sqrt 2}{2}$

Por sustitución, $\tan^2 x=\sqrt 2 (1-\frac {\sqrt 2}{2})$

$\tan^2 x=\sqrt 2 -1$