Encuentre el producto.

Question

Dado

$$ \log (x) + \frac{\log (xy ^ 8)} {(\log x) ^ 2 + (\log y) ^ 2} = \log 2\ (y) + \frac{\log \left(\frac{x^8}{y}\right)} {(\log x) ^ 2 + (\log y) ^ 2} = 0 $

Encontrar el producto $xy$ si ambos $x$ y $y$ son reales.

Después de aplicar identidades de registro básico, trataba de equiparar el valor de $ \large\frac{1}{(\log x)^2}+\frac{1}{(\log x)^2} $ pero no obtengo ningún resultado fructífero.

Answer 1

sugerencia pone $\log(x)=a\,\log(y)=b$ esto conduce a dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ellos son:

(I) $a+\frac{a+8b}{a^2+b^2}=2$ y

(II) $b+\frac{(8a-b)}{a^2+b^2}=0.$

Mutiplying (I) $b$ y (II) $a$ obtenemos $ab+\frac{ab+8b^2}{a^2+b^2}=2b$ y $ab+\frac{8a^2-ab} {a^2+b^2}=0$, sumando, obtenemos $2ab+8=2b$ y $ab+4=b$ así $a = \frac{b-4}{b}$. Resolver ecuación (II) y sustituyendo el valor de $a$ tenemos por lo tanto $b^3-\frac{16}{b} = 0$, así $b=\pm 2$ así $a=3,-1$ $$(x , y) = \left(1000, \dfrac{1}{100}\right) || \left(\dfrac{1}{10} , 100\right)$$. Finally, we have, $% $$xy=10$.