Son los ceros no triviales de la de Riemann zeta función contable?

Question

Es conocido que el conjunto de los ceros no triviales es un conjunto infinito. Pero se sabe si es un contable o incontable conjunto infinito?

Answer 1

Si el conjunto de $Z$ de los ceros de $\zeta(s)$ fueron innumerables, entonces se tendría un punto de acumulación. Ahora, por cierto la versión de la identidad teorema, esto implica que $\zeta(s)$ es idéntica a cero en su dominio, lo cual es absurdo.

Answer 2

El comentario me ha dejado un poco menos dispuestos a comprometerse con la declaración original de mi respuesta, pero el espíritu se mantiene, en esencia, es cierto, ya que los dos están íntimamente relacionados, pero como no sé de ninguna otra prueba de la fórmula explícita sin cero la densidad de los argumentos, creo que es mejor evitar que, como un a priori de la razón.

Las razones que se dan en las otras respuestas son mi otra norma ir-a las explicaciones, así que voy a tratar de hacer de este aceptó uno de los más desarrollados de hacer justicia a la condición de "aceptado", como el perezoso enfoque (eliminación simple) no está disponible para mí.

El problema con una cantidad no numerable de ceros es que podemos cubrir $\Bbb C\setminus\{1\}$ por un contable número de conjuntos compactos, por ejemplo. por $A_n, K_n$, que se cierran sus anillos, centrada en $1$ de radio interior $n$ y radio exterior $n+1$ en el elenco $A_N$. El $K_n$ son de la portada del disco

$$D=\{z\in\Bbb C | 0<|z-1|<1\}.$$

que puede ser

$$K_n =\left\{z\in\Bbb C : {1\over n+1}\le |z-1|\le {1\over n}\right\}.$$

Pero el conjunto de ceros, $S_0$ sin límite de puntos indicaría que $S_0\cap K_n$ es finito (es discreto y compacto), por lo tanto $S_0$ puede ser escrito como una contables de la unión de conjuntos finitos

$$S_0=\bigcup_{m}A_m\cap S_0\sqcup\bigcup_n K_n\cap S_0$$

y, entonces, sí es finito. Este hecho no es especial acerca de la $\zeta$ función, se cumple para cualquier holomorphic función en cualquier relativamente bien establecidos, por ejemplo. $\Bbb C\setminus\{1\}$.

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El original, aceptó responder

El set debe ser contables por un simple argumento. Si usted mira la llamada "fórmula explícita" se trata de una suma sobre los no-trivial de los ceros de la $\zeta$ función.

$$\Psi(x)=x-\sum_{\rho}{x^\rho\over\rho}-{\zeta'(0)\over\zeta(0)}-{1\over 2}\log\left(1-{1\over x^2}\right).$$

Aquí la suma, $\rho$ es no trivial ceros. Pero sabemos que cualquier infinita suma por la cual más de countably infinitamente muchos términos son no-cero produce un divergentes de la serie. Ya sabemos que los expresamente fórmula converge, debe ser que el número de ceros es contable.

Answer 3

En resumen, el número de ceros no triviales de $\zeta(s)$ $\lvert \text{Im}(s) \rvert < T$ está en el orden de $T \log T$. Así que hay countably muchos ceros no triviales.