Quiero demostrar que la $z=\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$ no es una raíz de la unidad, a pesar de que su valor absoluto es 1.
Cuando transforma a la representación geométrica: $$z=\cos{\left(\arctan{\frac{4}{3}}\right)} + i\sin{\left(\arctan{\frac{4}{3}}\right)}$$ De Acuerdo a De Moivre del teorema, obtenemos: $$z^n= \cos{\left(n\arctan{\frac{4}{3}}\right)} + i\sin{\left(n\arctan{\frac{4}{3}}\right)}$$
Ahora, si por $n\in \mathbb{N}: z^n=1$, entonces la parte imaginaria de la expresión anterior debe ser cero, por lo tanto:
$$\sin{\left(n\arctan{\frac{4}{3}}\right)}=0 \iff n\arctan{\frac{4}{3}} = k\pi, \ \ \ k \in \mathbb{N}$$
Y obtenemos que para $z$ a raíz de la unidad para algún número natural $n$, $n$ debe ser en la forma: $$n = \frac{k\pi}{\arctan{\frac{4}{3}}}, \ \ \ k \in \mathbb{N}$$
Por otro lado, para $z^n=1$ se debe que:
$$\cos{\left(n\arctan{\frac{4}{3}}\right)} = 1 \iff n\arctan{\frac{4}{3}} = 2l\pi, \ \ \ l \in \mathbb{N}$$
y así
$$n = \frac{2l\pi}{\arctan{\frac{4}{3}}}, \ \ \ l \in \mathbb{N}$$
Comparando esas dos formas de $n$, debe ser el caso que $k=2l$ e de $n$ a satisfacer $z^n = 1$. Lo que sigue es la $n$ debe estar en forma
$$n = \frac{2l\pi}{\arctan{\frac{4}{3}}}, \ \ \ l \in \mathbb{N}$$
Pero, al mismo tiempo, $n$ debe ser un número natural. Debo demostrar ahora que tal $n$ puede ser un número racional, y mucho menos de un modo natural? O ¿cómo debo enfoque de terminar esta prueba?
