Notación de la matemáticas para la localización del máximo

Question

Mi pregunta es acerca de notación. Tengo el máximo de la función $f(x)$. Esto puede ser expresado como $\max(f)$ cómo puedo expresar en forma compacta que $x_0$ es la ubicación de ese máximo.

Answer 1

Puede utilizar $$ x_0 = \mathop {\arg \max }\limits_x f(x). $$

EDIT 1: Usted puede (y preferiblemente) utilizar la anterior notación sólo si se alcanza el máximo en un valor único. Voy a elaborar más adelante.

EDIT 2: De Wikipedia, $$ \mathop {\arg \max }\limits_x f(x) = \{ x|\forall y:f(y) \le f(x)\} , $$ es decir, $\mathop {\arg \max }\limits_x f(x)$ es el conjunto de valores de $x$ que $f$ alcanza su máximo*. Sin embargo, si el máximo se alcanza en un solo valor, entonces definimos la arg max como un punto (en lugar de un singleton), de modo que $$ x_0 = \mathop {\arg \max }\limits_x f(x) \Leftrightarrow f(x_0 ) = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x), $$ donde $D$ es el dominio de $f$. Así, por ejemplo, si $f$ está definido por $$ f(x)=\cos (x),\;\; x \in [0,2 \pi], $$ entonces $$ \mathop {\arg \max }\limits_x f(x) = \{ 0,2\pi \} , $$ mientras que si $f$ está definido por $$ f(x)=\sin (x),\;\; x \in [0,2 \pi], $$ podemos (y preferiblemente) escribir $$ \mathop {\arg \max }\limits_x f(x) = \frac{\pi }{2} . $$

*Sin embargo, tenga en cuenta que una función $f$ podría no alcanzar un valor máximo por encima de su dominio; en este caso, $$ \mathop {\arg \max }\limits_x f(x) = \emptyset . $$ Como un ejemplo, definir $f$ $[0,1]$ $f(x)=x$ si $0 \leq x < 1$, e $f(1)=0$. Si, por otro lado, $f$ es continua en un circuito cerrado delimitado intervalo de $[a,b]$, entonces, por el teorema del valor Extremo, debe alcanzar su valor máximo (al menos una vez); de modo que, en este caso, $\mathop {\arg \max }\limits_x f(x) \neq \emptyset$.

Answer 2

Creo que bien que funciona "el máximo es $x_0$". ¿Tú no? ¿Quieres algo así como $ \mathrm{max} f(x) = f( x_0 )$?

EDICIÓN: cool - aprendí algo nuevo! Esto es totalmente de Jineon Baek. Pero $\mathrm{arg \, max}f(x)$ es otra forma - se refiere al conjunto de puntos de $X$ que maximizar la función.