se le pidió que averiguara el valor de $f(\sqrt{2})$

Question

Me dieron $f(1+{\sqrt{2}i\over n})=-{2\over n^2}$ donde $f$ analítica de $|z|<3\to\mathbb{C}$ . y se le pidió que averiguara el valor de $f(\sqrt{2})$

He definido $g(z)=f(1+z)-z^2$ y luego se $f(1+z)=z^2$ por el Teorema de la Identidad y luego sólo hay que poner $f(z)=(z-1)^2$ y luego $f(\sqrt{2})=3-2\sqrt{2}$

¿tengo razón en cada paso?

Answer 1

Sí, eso es correcto, y el objetivo de la pregunta parece ser exactamente ese uso del Teorema de la Identidad. Dado que el conjunto $1+\frac{\sqrt{2}i}{n}$ tiene el punto de acumulación $1$ en el dominio $|z| < 3$ y $f$ está de acuerdo con $(z-1)^2$ en esos puntos, entonces $f(z)=(z-1)^2$ .