¿Es cierto que cualquier grupo finito determinado por representación en campo cerrado? ¿En otras palabras, son hay dos grupos diferentes con las mismas representaciones? Por ejemplo, cualquier grupo no abeliano de orden 8 es $D_4$ o $Q = { \pm 1, \pm i. \pm j, \pm k }$, porque: $$|G| = 2^2+1^1+1^1+1^1+1^1=2^2+2^2.$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Capsulizing algunos comentarios y añadir un poco: la pregunta (original) que plantea la no formal sentido, porque nos falta un elemental sentido de lo que significaría para las representaciones de _different_groups_ a ser "el mismo". Mientras que hay una cierta justificación en despedir el problema, el ejemplo numérico dado (aunque ligeramente distorsionado) ya se ilustra un posible significado dado a la pregunta, es decir, si la lista de dimensiones de irreducibles es el mismo, son los grupos isomorfos? O, ¿qué sentidos puede ser esto?
Podemos empezar con un poco de "numerología", como se menciona en la pregunta y comentarios: f o abelian grupos de la misma orden, la lista de todos los 1, por lo que no somos capaces de distinguir. Para no abelian grupos de orden 8, hay 4 1 y un 2, no distinguir los cuaterniones grupo de la diedro grupo.
Cómo olvidar menos acerca de la repns?
Una manera en que la falla es mirar el isomorfismo de la clase de los anillos $\mathbb C[G]$ (con convolución, naturalmente). La razón de esta falla es que estos anillos son productos de simple los anillos (la matriz de los anillos, más de $\mathbb C$), de tamaños iguales a las dimensiones. Así que para abelian grupos a los que obtener un producto de copias de $\C$, no es bueno, y para los dos grupos de orden $8$, obtenemos 4 copias de $\mathbb C$ y un 2-por-2 matriz de anillo, en ambos casos. No es bueno.
Como Pete C. mencionado, se pudo ver en "las tablas de caracteres", o, equivalentemente, (aquí una continuación podría empezar) clases de isomorfismo de repns _with_tensor_product_. Irreducibles son distinguibles en esta categoría, incluso sin tensor de productos. Los personajes de abelian grupos de formar un grupo de ellos mismos, como hacer irreductible (unidimensional) repns bajo tensor de producto, así que recuperar el doble de grupo a la original abelian grupo, y, por lo tanto, el grupo en sí.
(No todas las categorías de módulos sobre un anillo admite un producto tensor. Grupo de álgebras, universal envolvente álgebras, y otros con adecuada involución hacer. Edit: ver a Brad comentario de abajo para más...)
Sin embargo, para la orden de 8 de no-abelian grupos, la tabla de caracteres y/o tensor-producto de irreducibles relaciones son insuficientes para distinguir entre los dos. Tal vez esto puede hacerse visible en un caprichoso, pero potencialmente manera convincente: en primer lugar, ya que ambos grupos modulo central $\mathbb Z/2$ $2,2$ grupos, el $4$ 1-D repns tienen el mismo tensor-producto de las relaciones en ambos casos, es decir, aquellas partes de la tabla de caracteres son idénticos, por lo que no distinguen. Esto sólo deja espacio para un único isomorfismo clase de 2-D repn $\rho$. Para cualquier 1-D repn $\alpha$, necesariamente,$\alpha\otimes \rho\approx \rho$. El producto tensor no podía ser una suma de dos 1-D irreducibles, porque $\alpha^\vee\otimes(\alpha\otimes\rho)\approx (\alpha^\vee\otimes \alpha)\otimes \rho \approx 1\otimes \rho \approx \rho$ donde $\vee$ es contragredient. $\rho$ es su propia contragredient, ya que no hay otros irred 2-D repn. Por lo tanto, nuestra última esperanza de distinguir los dos grupos es tener $\rho\otimes\rho$ será diferente en los dos casos. Pero el hecho de que $\alpha\otimes\rho\approx \rho$ da una igualdad de caracteres, $\alpha\cdot \chi_\rho=\chi_\rho$ (identificación de $\alpha$ con su traza). Es decir, $\alpha$ $=1$ sobre el apoyo de $\chi_\rho$, para todos 1-D repns $\alpha$, por lo que el apoyo de $\chi_\rho$ debe ser el colector de un subgrupo $[G,G]$ en ambos casos. Desde $\langle \chi_\rho, \alpha\rangle=0$, los dos valores distintos de cero de a $\chi_\rho$ debe ser igual, pero de signo opuesto en $[G,G]$. Por lo tanto, $\langle \chi_{\rho\otimes \rho},\chi_\rho\rangle=0$, y que no hay ninguna copia de $\rho$ se produce en $\rho\otimes\rho$. Y el interior del producto con todos los 1-D caracteres debe ser el mismo, sooo, "lamentablemente", en ambos casos $\rho\otimes\rho$ es la suma de todos los $4$ 1-D repns. Es decir, el tensor de la estructura no distingue, ya en este pequeño ejemplo, y por razones que tienden a manifestarse de manera más amplia.
Para cualquier principiante que no ha pensado acerca de las categorías de repns de (por ejemplo,) grupos finitos antes, podría ser interesante el intento de capturar lo esencial de sus características axiomáticamente. Y, por ejemplo, ver si la discusión anterior todavía se "olvida" de algo cuyo recuerdo permitiría distinguir los dos grupos.
En contraste con esta historia, en varias categorías de repns de la Mentira de los grupos, las subcategorías de repns de los distintos grupos pueden (en distintos grados) se distinguen por su estructura categórica...
