Si , , Y , Entonces

Question

Me encontré con la siguiente afirmación y estoy teniendo problemas para que la justifican:

Si $z$ es un número complejo distinto de cero con $|z| \leq \pi/2$$|\sin z| \leq 1/4$, luego $$ \left| \frac{z}{\sen z} \right| \leq \frac{1/4}{\sin(1/4)} = 1.0104931\ldots $$

Agradecería un poco de ayuda. Gracias.

EDICIÓN: Andrés ha señalado que la desigualdad anterior se produce un error si $z = \sin^{-1}(1/4) = 0.25268025\ldots$. Después de más de pensamiento, me di cuenta de que si $z$ es real con $|z| \leq \pi/2$$|\sin z| \leq 1/4$, $|z| \leq \sin^{-1}(1/4)$ $z / \sin z$ es el aumento en el $[0,\sin^{-1}(1/4)]$; en consecuencia, $$ \left| \frac{z}{\sen z} \right| \leq \frac{\pecado^{-1}(1/4)}{1/4} = 1.0107210\ldots $$ sostiene.

Answer 1

No es cierto. Es aumentar la función $f(x)=\frac x{\sin x}$ $(0,\pi/2)$, por lo tanto la función $$g(x)=\frac{f(x)}{f(\sin x)} =\frac{x \sin (\sin (x))}{ \sin^2(x)}$$ is increasing too since $0 1. $$