Sé que las fórmulas contienen variables libres y las oraciones solo contienen variables ligadas. ¿Estoy en lo cierto al decir que las oraciones son equivalentes a las propiedades que las estructuras pueden tener o no tener? Ya que las oraciones tienen un valor de verdad definido. Por ejemplo, si M = (|M|,<), donde |M| es el conjunto de números naturales. Entonces no es una propiedad de la estructura M que 'para todo x, exista un número y menor que x'. Porque para x = 1 no hay ningún número y < 1, por lo que no es una propiedad de M. Y claramente es una oración que expresa una propiedad de la estructura. Entonces, ¿tengo razón al creer que todas las oraciones expresan alguna propiedad de una estructura? ¿Qué pasa con las fórmulas? ¿Cómo debo pensar en ellas? ¿Para qué se necesitan?
Respuesta
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Es cierto que las oraciones solo contienen ocurrencias ligadas de variables, mientras que las fórmulas normalmente contienen ocurrencias libres de variables. Estoy siendo quisquilloso aquí: una oración es un tipo especial de fórmula, al igual que un triángulo equilátero es un tipo especial de triángulo isósceles. Cuando llamamos a un triángulo isósceles, no necesariamente excluimos la posibilidad de que sea equilátero.
Si vamos a hablar solo sobre una interpretación específica (modelo) $M$, las oraciones pueden ser vistas como expresando propiedades de la estructura. Sin embargo, las oraciones pueden ser vistas puramente sintácticamente, y puede haber análisis, por ejemplo, de probabilidad o refutabilidad, no de verdad en un $M$ específico. En realidad, la lógica se trata a menudo de la interacción entre la sintaxis y la semántica. Así que la descripción sintáctica de las oraciones (sin ocurrencias libres de variables) y tu descripción semántica (valor de verdad definitivo en un modelo) representan dos visiones complementarias del tema.
La interpretación semántica de las fórmulas sigue las líneas que describiste para las oraciones. Por ejemplo, sea $L$ el lenguaje que tiene los símbolos de función $+$ y $\times$, y los símbolos constantes $0$ y $1$. Sea $M$ la estructura cuyo conjunto subyacente es los reales, con $+$, $\times$, $0$ y $1$ interpretados de la manera habitual.
Consideramos una fórmula específica $F(x)$, digamos $$\exists z (z \times z=x).$$ Esta fórmula es verdadera si la variable $x$ es interpretada, por ejemplo, como el número real $\pi$, y falsa si la variable $x$ es interpretada como el número real $-17$. "Interpretado" necesita ser definido con precisión, el término técnico habitual que verás es valoración. Los detalles no son difíciles, pero tenemos que tener cuidado de no confundir la sintaxis y la semántica. La definición, en particular, tiene que tratar con lo que significa "sustituir" un elemento $m$ de $M$ por $x$ en una fórmula. Después de todo, $m$ no es un símbolo de $L$.
¡Basta de formalidades! Informalmente, una fórmula $F(x)$ suele ser verdadera para algunos valores de $x$ (interpretaciones de $x$ en $M$,) y falsa para otros valores de $x.
La fórmula bien podría ser verdadera para todos los valores de $x$. Para la estructura $M$ que hemos estado discutiendo, un ejemplo es $$\exists z (((z\times z)\times z)=x)$$ ya que cada número real tiene una raíz cúbica.
Volviéndose a un ejemplo familiar muy simple sintácticamente de una fórmula $F(x,y)$ con dos variables libres, $$x +(y+y)=1+1.$$ Aquí nuevamente, si $x$ e $y$ se interpretan como números reales específicos $c$ y $d$, entonces la fórmula $F(x,y)$ es verdadera en $M$ bajo esa interpretación si el punto $(c,d)$ yace en la línea con ecuación ordinaria $x+2y=2$, y falsa si $(c,d)$ no yace en la línea.
Más en general, una fórmula se interpreta en un modelo $M$ como una relación. Por ejemplo, una fórmula $F(x,y)$ con dos variables libres $x$ e $y$ se interpreta como una relación binaria, que puede mantenerse cuando $x$ e $y$ se interpretan como ciertos elementos de $M$, y ser falsa en otros casos.
Pero recuerda que a nivel sintáctico, una fórmula es una fórmula meramente por su forma, punto. Pero la interpretación semántica de las fórmulas como relaciones es la razón principal por la que estamos interesados en ellas.
Añadido: En muchas áreas, hay una tradición de presentar los axiomas como lo que parece superficialmente fórmulas, y no oraciones. Por ejemplo, el axioma de conmutatividad para grupos abelianos generalmente se escribe como algo como $$x\times y=y \times x.$$ Esto debería considerarse como una abreviatura para $$\forall x\forall y (x\times y=y \times x).$$ Esta tradición no encaja bien con la interpretación habitual de las fórmulas $F(x,y)$ en lógica, pero la tradición está bien establecida y no puede hacerse mucho al respecto.
Algunas presentaciones de lógica permiten que fórmulas que no son oraciones sean demostrables, al hacer que $F(x_1, \dots, x_n)$ sea demostrable si la oración obtenida al cuantificar universalmente todas las variables libres de $F(x_1, \dots, x_n)$ es demostrable.
Desafortunadamente, a veces no es evidente si en una fórmula $F(x)$, el símbolo de variable $x$ debe considerarse como cuantificado universalmente implícitamente. En la escritura matemática, a menudo se omiten algunos cuantificadores universales, para evitar una sobrecarga de cuantificadores. Esto tiende a difuminar la distinción importante entre fórmulas y oraciones.
