Fibra de una gavilla de $\mathcal{O}_X$-módulos.

Question

Deje $\mathcal{F}$ ser localmente libre de la gavilla de los módulos de rango $n$ más complejas colector $X$.

A $\mathcal{F}$ podemos asociar un vector paquete de llamada, $\pi: V \to X$.

La fibra de la gavilla $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}(x) := \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} k(x)$ donde $k(x)$ es el residuo de campo para algún punto de $x \in X$. Tenga en cuenta que este es sin duda un espacio vectorial sobre $k(x)$.

Es $\mathcal{F}(x) \cong \pi^{-1}(x)$?

Parece una pregunta básica pero no puedo encontrar una respuesta sencilla.

El uso de la correspondencia entre localmente libre de las poleas de los módulos y el vector de paquetes de $\pi^{-1}(x) = \mathcal{F}_x / m_x \mathcal{F}_x$. Tenemos las siguientes:

$$\mathcal{F}_x / m_x \mathcal{F}_x \cong \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}_x/m_x' \mathcal{O}_x \cong \mathcal{F}_x / m'_x \mathcal{F}_x$$.

Entonces esto se reduce a mostrar que el ideal maximal, $m'_x \subset \mathcal{O}_x$, actúa en $\mathcal{F}_x$ $m'_x \mathcal{F}_x= m_x \mathcal{F}_x$

Answer 1

Sí, esto es correcto.

La Serre-Swan teorema da una equivalencia de categorías entre el vector haces localmente libres de $\mathcal{O}_X$-módulos de rango finito.

En virtud de esta equivalencia, la retirada de vector de paquetes corresponde a la retirada de las poleas de $\mathcal{O}_X$-módulos. En particular, para $x: \bullet \hookrightarrow X$ la inclusión de un punto, el retroceso functor sobre el vector de paquetes de $$x^*: \mathsf{Vect}(X) \to \mathsf{Vect}(\bullet) \cong k(x)\mathsf{Mod}$$ le da la fibra de un vector paquete, y el retroceso functor en las poleas de los módulos a través localmente anillado espacios $$x^*: \mathcal{O}_X\mathsf{Mod} \to k(x) \mathsf{Mod}$$ dado por $\mathcal{F} \mapsto k(x) \otimes_{x^{-1} \mathcal{O}_X} \mathcal{F}$ le da la fibra de los correspondientes pliegos. Con respecto a la Serre-Swan equivalencia, $x^* \mathcal{V}$ corresponde a $x^*V$.