Si $f\circ g$ es continua y $g$ es continua ¿qué acerca de la $f$?

Question

No sé si $f$ es continua. Yo creo que no es necessarly continua, pero no sé algún ejemplo. Si es continuo, no sé cómo probar.

Answer 1

Si $g$ es una función constante, $f \circ g$ puede ser continuo, mientras que $f$ no es necesariamente así.

Answer 2

Tomar, por ejemplo, cualquier $f$$g=0$.
Para los menos un ejemplo trivial: tome $f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & x\in\mathbb{Q}\\ -1 & x\notin\mathbb{Q} \end{array}\right.$.
Tome $g(x)=[x]$. A continuación, $f(x),g(x)$ son ambos no es continuo, mientras que $f(g(x))=1$ es. (Por supuesto, usted puede tomar una función constante $g$ - en ese caso $g$ será continua)