$F[a] \subseteq F(a)?$

Question

Creo que esta es probablemente una pregunta fácil, pero me gustaría verificar que la estoy viendo de la manera correcta.

 

Sea $F$ un campo, y sea $f(x) \in F[x]$ tener un cero $a$ en algún campo de extensión $E$ de $F$. Defina $F[a] = \left\{ f(a)\ |\ f(x) \in F[x] \right\}$. Entonces $F[a]\subseteq F(a)$.

La forma en que veo esto es que $F(a)$ contiene todos los elementos de la forma $c_0 + c_1a + c_2a^2 + \cdots + c_na^n + \cdots$ ($c_i \in F$), por lo tanto, contiene $F[a]$. ¿Es esa la razón "obvia" por la que $F[a]$ está en $F(a)?

Y por cierto, ¿es $F[a]$ una notación estándar para el conjunto recién definido?

Answer 1

Mi definición preferida para $F[a]$ es el anillo más pequeño que contiene a $F$ y $a$ y para $F(a)$ es el cuerpo más pequeño que contiene a $F$ y $a. Con estas definiciones, la inclusión es clara, porque cada cuerpo es un anillo. Las descripciones concretas en términos de polinomios y funciones racionales son entonces teoremas, por supuesto.

Answer 2

(1) Sí, estás en lo correcto. Ten en cuenta que $F(a)=\{\frac{f(a)}{g(a)}:f,g\in F[x], g(a)\neq 0\}$; en otras palabras, $F(a)$ es el cuerpo de fracciones de $F[a]$ y por lo tanto definitivamente contiene a $F[a].

(2) Sí, la notación $F[a]$ es estándar para el conjunto que describiste.

Ejercicio 1: Demuestra que si $a$ es algebraico sobre $F$, entonces $F[a]=F(a). (Pista: primero prueba que $\frac{1}{a}\in F[a]$ (si $a\neq 0$) usando una ecuación algebraica de grado mínimo de $a$ sobre $F$.)

Ejercicio 2: Demuestra que si $a$ es trascendental sobre $F$, entonces $F[a]\neq F(a). (Pista: Demuestra que $F[a]\cong F[x]$ donde $F[x]$ denota el anillo de polinomios en la variable $x$ sobre $F. Ten en cuenta que $F[x]$ nunca es un cuerpo si $F$ es un cuerpo.)

Answer 3

Sí, estas son notaciones estándar: dados algunos campos $E\supseteq F$ y algún $a\in E$, $$F(a)=\left\{\left.\frac{f(a)}{g(a)}\right\vert\,\,\, f,g\in F[x], g(a)\neq0\right\}$$ $$F[a]=\left\{\left.f(a)\,\,\right\vert\,\,\, f\in F[x]\right\}$$ Porque cualquier $f(a)=\frac{f(a)}{g(a)}$ donde $g=1$, tenemos que $F[a]\subset F(a)$ (esto es simplemente una reformulación de tu argumento).